LIVRE SEPTIÈME

pôles, avec une môme ouverture de compas, décrivons, d'un même côté de AB, deux btcs qui se coupent en un point F. Des points C, F comme pôles, avec la corde d’un quadrans , traçons , d’un même côté de Ct , deux arcs qui se coupent en un point P. Enfin, de ce dernier

point comme pôle, avec la même ouverture de compas ,

traçons l’arc CF : il satisfera à la question.

* i c Cas. — Le point étant situé hors la circonférence. .

Même construction.

Remarque. — Dans ce dernier cas, si le point C est le pôle de la circonférence AB, le problème est ind^rminé, attendu qu’un arc quelconque de grand cercle, passant en C, sera perpendiculaire à AB.

Problème 111. *•

Par un point A , donné sur un arc de grand cercle ACB (fig- 299 ), mener un arc de grand cercle qui fasse, avec le premier, un angle égal à un angle donné D.

Du sommet D de l’angle donné, comme centre, avec un rayon égal à celui de la sphère , traçons un arc EF .

Du point A comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde d’un quadrans, décrivons l’arc de grand cercle CGH. Du point C comme pôle , avec une ouverture de compas égale a la distance des points E , I* , décrivons un petit arc coupant CGH au point G. Prenons, à partir de ce point, Vin arc GI égal à un quadrans. Enfin, du point 1 comme pôle, traçons un arc passant en G : il passera aussi en A et satisfera à la question (562).

Remarque. — Le point G pouvant être pris de part ou d'autre de C, le problème admet toujours deux solutions.

Problème IV.

Construire un triangle sphérique , connaissant ses trois cotés a, b, c. , * ■

Traçons, sur la sphère donnée, une circonférence de grand cercle 5 prenons sur cette ligne un arc BC égal au plus grand a des cotés donnés. Des extrémités B, C de cet arc, comme pôles, et avec des ouvertures de compas égales respectivement aux cordes des deux autres côtés &, c, décrivons deux petits cercles : ils se couperont généralement en deux points A , A', symétriques par rapport au plan du cercle BC. Si donc nous joignons chacun de ces deux points aux extrémités B, C, par des arcs de grands cercles, nous obtiendrons deux triangles sphérit^L-s symétriques (580) ABC, A'BC, qui satisferont à la question. On démontrera facilement, par des considérations analogues à celles de la Géométrie plane (173), que les circonférences décrites des points B, C, comme pôles, se couperont, ou que le problème sera possible , si le plus graud côté est moindre que la somme des deux autres.

Problème V.

Construire , sur Une sphère donnée, quatre cercles égaux et tels, que chacun d'eux soit tangent aux trois autres.

Imaginons un tétraèdre régulier inscrit dans la sphère, dont les sommets soient les points A, B, C , D (/ig- 3oo). Joignons ces points, deux à deux, par des arcs de grands cercles, lesquels seront égaux entre eux. Soient E,F,G,... les milieux de ces arcs. Si du point A comme pôle nous traçons un arc de petit cercle passant en E, il passera par les points G, K. De même, la circonférence décrite du point B comme pôle, et passant en T,, passera par les points F, H ; etc. De plus, ces quatre circonférences sont égales entre elles.

Me dis actuellement qui* ces circonférences se touchent, deux à deux, aux points E, F, G,...v

. L 1 VBE SEPTIÈME. , 269

En effet, les petits cercles décrits des points A et R comme pôles ont pour axes les droites menées du centre de la sphère aux points A, B (550); donc les centres de ces petits cercles sont situés dans le plan du grand cercle AEB. Menons la perpendiculaire ET à ce plan , et joignons le point E aux centres des deux petits cercles : la droite ET sera perpendiculaire à ces deux rayons; donc elle est tangente aux circonférences A et B.

Pour effectuer la construction qui vient d’être indiquée , il faut d’abord marquer sur la sphère donnée les sommets A, B, C, D du tétraèdre régulier inscrit.

On trouve facilement ( voyez problème VIH) , qu’en désignant par c le côté de ce polyèdre, et par R le rayon de la sphère , on a

On déduit de cette valeur, et de ce qui précède, la construction suivante :

Sur une droite AA' égale au diamètre de la sphère (problème I), décrive! la demi-circonférence A BA' ( Jig . 3oi). Divisez AA' en trois parties égales, et, par le second point de division P, élevez PB perpendiculaire au diamètre; menez AB. Du point A comme pôle (Jig- 3oo) , avec cette dernière droite pour ouverture de compas, décrivez un petit cercle.; il contiendra les sommets B, C, D, etc.

Remarque . — Soit E (Jig- 3oi) le milieu de l’arc AB. Joignons ce point au centre O , et menons EQ perpendiculaire à AA' : la droite EQ sera le rayon r du petit cercle ayaut A pour pôle (Jig- 3oo). Or, les triangles rectangles ALO, EQO, évidemment égaux , donnent EQ = AL = y AB, ou

r = Ry'I.

Problème VI. ,

Construire , sur une sphère donnée , un quadrilatère inscriptible , connaissant ses quatre côtés.

Avec les cordes des arcs donnés, prises comme côtés, construisons, sur un plan, un quadrilatère inscriptible (livre III, problème XVIII). Il ne s’agira plus que de tracer , sur la sphère donnée, une circonférence égale à celle qui est circonscrite au quadrilatère plan, de marquer, sur cette circonférence , les sommets du quadrilatère, et de faire passer par ces points, pris deux à deux , des arcs de grands cercles : ce qui n’offre aucune difficulté. »

Remarques. — 1 °. Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que la somme des quatre arcs donnés soit moindre que la circonférence d’un grand cercle , et que le plus grand arc soit moindre que la somme des trois autres. En effet, lorsque ces deux conditions nécessaires (569 , 570) sont satisfaites, le quadrilatère plan est possible, et la circonférence qui lui est circonscrite peut être appliquée sur la sphère.

a°. Nous avons vu dans la Géométrie plane (192), que, dans tout quadrilatère inscrit, les angles opposés sont supplémentaires. Les quadrilatères sphériques inscrits jouissent d’une propriété analogue.

Soit le quadrilatère sphérique ABCD {fi g- 3oa) inscrit dans un petit cercle EFGH, et soit P le pôle de ce petit cercle. Menons les arcs de grands cercles PA, PB, PC, PD : lequadrilatèrc sphérique sera décomposé en quatre triangles isoscèles dont chacun a les angles à la base égaux entre eux (455, i°).

Conséquemment, en appelant A, B, C, I) les angles du quadrilatère,