LIVRE SEPTIEME. 2jt

Ainsi, clans tout quadrilatère sphérique inscriptib/e , les angles opposés, pris deux à deux, forment des sommes égales. * • *

3°. Dans un quadrilatère inscrit ABCD^g. 3o3), menons la diagonale AB, nous aurons

CAB + CBA DAB 4 - DBA ~ C -t- D,

ou . ; Y

CAB + CBA — C = D — (DAB -4- DBA).

Supposons que le point D restant fixe, le point C se déplace sur l’arc de petit cercle AOB, et prenne différentes positions C', C"; nous aurons de même

C' AB -t- C'BA — C' = D —.(DAB 4- DBA),

C"AB -f- C"BA — C" = D — (DAB 4- DBA), etc.

On déduit de cette remarque la proposition suivante :

Si des triangles sphériques ont pour base un arc donné, et si la différence entre la somme des angles à la base et l'angle au sommet est constante, le lieu géométrique des sommets de ces triangles est un arc de petit cercle qui passe par les extrémités de la base.

4°. Cette propriété remarquable a quelque analogie ' avec celle que l’on déduit du théorème sur le segment capable (101). En effet, si dans un triangle rectiligne ABC, l’angle C est donné, la différence entre la somme des angles A et B et l’angle C est constante, et égalé à

— aC, ou à aC — a J , selon que l’angle C est aigu ou obtus.

Problème VII.

Quel est le lieu géométrique des sommets des triangles sphériques de même base et de même surface ?

Soit ABC '{fig. 3o4) un quelconque des triangles, qui satisfont à la question.