X'JI GÉOMÉTRIE

Eu représentant par tri là mesure donnée, ou le rapport du triangle ABC au triangle tri-rectangle , et en prenant pour unité l’anglé droit; nous aurons

Prolongeons les côtés AC, BC jusqu'à ce qu’ils rencontrent la circonférence ABA'B’ aux points A', 1? ; nous formerons un second triangle A'B'C, dans lequel les angles A' et B' sont les suppléments respectifs des angles A et B. L’équation précédente devient donc

2 — A ; -H 2 — B' -f- C — 2 ^ m y d’où ** •

Ainsi la différence entre l'angle C et la somme des angles A', B' est constante ; donc le point C décrit un arc de petit cercle passant aux points A', B'. C’est-à-dire que :

Le lieu géométrique des sommets des triangles sphériques de même base et de même surface est un arc de petit cercle passant par les points diamétralement opposés aux extrémités de la base. ' t

Pour trouver un troisième point de ce petit cercle, prenons, parmi tous les triangles tels que A'B'C, celui dans lequel le côté A'C est égal à A'B'. Alors uqus aurons B'=C, et l'équation .ci-dessus deviendra A ' =2 — m. 11 suffira donc, pour déterminer le point C', de construire un triangle sphérique, connaissant deux côtés et l’angle compris; ce qui est très-simple.

PnOBLÈME VIII.

Étant donné le côté c d'un polyèdre régulier , trouver le rayon R de la sphère circonscrite et le rayon r de la sphère inscrite.

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LIVIIE SEPTIEME.

Tétraèdre. — Suit E (Jig. 3o5) le milieu clt* Barète BC. Menons AE, DE. Soient F et G les centres des triangles équilatéraux ABC , DBC : le centre commun des deux sphères se trouvera à l'intersection des droites DF, AG (B03), et les rayons demandésseronl AO, OG.