PROBLÈME IX

Connaissant le rayon R d'une splière , trouver le côté c d'un polyèdre régulier inscrit , et le rayon r de la ■ sphère inscrite à ce polyèdre.

Si nous résolvons, par rapport à c ctàr, les fomiules

trouvées dans le problème qui

précède, nous arriverons

aux résultats suivants :

Tétraèdre ,

sS

Hexaèdre,

: ç = |RyÆ,

r = iRv^-

Octaèdre ,

c = R \Ji ,

r = |Rs/3.

Dodécaèdre,

Icosaèdre ,

c = iR ^10(5 — \/ 5 ),

Le rayon de la sphère inscrite ayant la même valeur pour le dodécaèdre et l’icosaèdre, on voit que, si ces deux polyèdres sont inscrits à une même sphère, ils seront aussi circonscrits à une même sphère. La même propriété a lieu pour l’hexaèdre et l’octaèdre.

Problème X.

Connaissant le rayon R d'une sphère , trouver l’aire A et le volume V d'un polyèdre régulier inscrit dans cette sphère.

Nous venons d’exprimer, en fonction de R, le côté c du polyèdre régulier: si donc nous désignons par a l’aire

de chacune des faces, nous trouverons, à l’aide des théorèmes II, IV et VI (livre III), les valeurs suivantes : Tétraèdre,

a = ic’sÆ = iy'â.iR’ = }R’</3; A = |R’ ^3.

Hexaèdre,

a = c> = iR 1 ; A = 8R’.

Octaèdre,

a = = iR 1 y/3; A = 4R’^|.

Dodécaèdre,

A=2R J V io(5 — v^)- Icosaèdre,

a = ±c' , \j3 = — \fî5)i A = 2 R 3 (5 ^3 - — y/Î5 ) .

Si actuellement nous multiplions la valeur de A par ~r, nous aurons le volume V du polyèdre; savoir : Tétraèdre,

V = {RV3 X iR = ^R 1 ^.

Hexaèdre,

V = 8R J X tRv^ 3 = |R’v/3.

Octaèdre,

v = 4 rV 3 x = |R J .

Dodécaèdre,

Icosaèdre,

FIN nii LIVRE SEPTIEME.