MESURE DES CORPS TERMINÉS PAR DES SURFACES COURBES

PRÉLIMINAIRES

Tdéorême I.

031 . Dans une surface polyédrale fermée , une face quelconque est plus petite que la somme de toutes les autres.

Soit la surface polyédrale ABCD. .. . (fg- 3io). Je dis que Faire de la face ABCDE est plus petite que la somme des aires de toutes les autres faces.

Projetons, sur le plan ABCDE, chacune des autres faces du polyèdre. Chaque face, non parallèle à ABCDE, est plus grande que sa projection (402) ; d’ailleurs la somme des projections est au moins égale à ABCDE; donc, etc.

Théorème 11.

032. Une surface polyédrale fermée convexe est plus petite que toute autre surface polyédrale qui l'enveloppe de toutes parts.

Prenons chaque face A du polyèdre convexe pour base d'un prisme droit, extérieur à ce polyèdre, et dont la surface lalér^e détache, sur la surface polyédrale enveloppant, une figure A’, ayant A pour projection. Nous

aurons A’ ^ A. D’ailleurs, le polyèdre étant convexe, les différents prismes ne se rencontrent pas; donc la somme •

des surfaces telles que A' est plus petite que la surface enveloppante; donc, à plus forte raison, celle-ci est plus grande que la surface du polyèdre.

633. Pour étendre ces deux théorèmes aux surface* ^ courbes, il faut d’abord définir ce que l’on entend par aire * d*une pareille surface .

Soit une surface fermée S, convexe pour plus de simplicité. Inscrivons dans cette surface un polyèdre convexe P, et soit A l’aire de ce polyèdre. Inscrivons ensuite tin polyèdre convexe l y , dont toutes les arêtes soient moindres que celles de P , et tel , en outre , que les sommets de P coïncident avec des sommets appartenant à P. Continuons ainsi indéfiniment. Nous obtiendrons une suite de polyèdres P, P, P',. . . dont les arêtes, et par suite les faces, seront de plus en plus petites, et dont les aires A, A', A",... augmenteront de plus en plus. D’ailleurs, par Je théorème précédent, ces aires seront toujours moindres que celle d’un polyèdre circonscrit à S; donc elles tendront vers une limite : cette limite est ce que nous nommons aire de la surface S.

>. De même, les volumes V, V', V",... des polyèdres successifs tendent vers une certaine limite, laquelle est appelée volume du corps terminé par la surface S.

D’après ces conventions, on étendra facilement aux surfaces courbes les théorèmes I et II. et l’on trouvera les deux théorèmes suivants.

Théorème III.

631. Une surface plane est plus petite <uie toute autre surface terminée au même contour.

Théorème IV.

635. Une surface convexe est plus petite que toute autre surface qui l' enveloppe rie toutes parts.