CD = Œ’ ° U CD X AF = CE X AB

donc , à cause de AF = A' B',

surf. AB ss 2 ttCD X A' B'.

Il est clair que cette proposition est également vraie lorsque l’une des extrémités de AD se trouve sur l’axe.

Théorème XI.

630. La surface engendrée par une ligne brisée régulière ABCD (Jig- 3 14)1 tournant autour d'un axe situé dans son plan et passant par son centre, a pour mesure

la circonférence inscrite , multipliée par la projection de la génératrice sur l’axe.

On appelle ligne brisée régulière celle qui a ses côtés égaux et ses angles égaux. 11 est évident qu’une pareille ligne est circonscriptible à une circonférence.

Cela posé, soit O le centre de la ligne brisée, c’est-à-dire celui de la circonférence inscrite. Menons les apothèmes égaux OM, OIS, OP, et projetons les sommets A, B, C,D en A', B', C', D' sur XY.

La surface engendrée par ABCD se compose des surfaces engendrées par AB, BC, CD; donc, parle lemme précédent ,

surf. ABCD = ajrOM XA'B' + 2*0N X B'C' -4- 2 ttOP XC'D', OU

surf. ABCD = 2*0M (A' B' -+- B'C' -+- C' D' ).

Bol . Corollaire. — La surface engendrée par un demipolygone régulier, d'un nombre pair de côtés, tournant autour d’un diamètre du cercle circonscrit, a pour mesure la circonférence inscrite, multipliée par le diamètre du cercle circonscrit.

Théorème XH.

652. La surface d'une zone ou d'une calotte sphérique a pour mesure la circonférence d’un grand cercle, multipliée par la hauteur de ta zone ou de la calotte.

Une zone est la partie de la surface de la sphère terminée à deux circonférences parallèles; une calotte est la partie de la surface sphérique terminée à uue seule circonférence. Ainsi , lorsque la demi-circonférence CABD ( fig . 3i5), tournant autour du diamètre CD, engendre la sphère, l’arc AB engendre une zone, et les arcs AC, BD engendrent des calottes sphériques.

La hauteur A' B d’une zone est la distance comprise