LIVRE HUITIEME

entre les plans de ses deux bases; la hauteur CA' d'une calotte est la distance comprise entre le plan du cercle qui lui sert de base et le pôle de ce cercle.

Cela posé, je dis. que la zone engendrée par AB a pour mesure a^OC X A'B\

Inscrivons dans l'arc AB une ligne brisée régulière AEI'B; puis, dans la surface conique engendrée par AE, inscrivons la surface d'un tronc de pyramide régulière, et opérons de même pour les surfaces engendrées par EF et FB. Nous formerons ainsi une surface polyédrale ouverte, ayant pour base inférieure un polygone régulier, inscrit dans la circonférence décrite par le point B. Si nous faisons croître indéfiniment le nombre des côtés de ce polygone, et si en même temps nous augmentons indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite dans AB, nous obtiendrons une série de surfaces polyédrales dont les aires auront une limite, laquelle sera précisément l’aire de la zone sphérique.

D'abord, en augmentant indéfiniment le nombre des côtés du polygone régulier servant de base à la surface polyédrale, nous trouverons pour limite l’aire de la surface engendrée par la ligne brisée A EF B ; c’est-à-dire 27K3I X A' IV.

En second lieu, en faisant croitreindéfinimentle nombre des côtés de la ligne brisée, nous obtiendrons, pour l’aire de la zone sphérique, lim. 5.~OI X A B' ; c’est-à-dire 2 ?rOC x A' B'.

La démonstration serait la même pour la mesure de la calotte engendrée par AC.

653. Scolie. — Soient R le rayon d’une sphère, H la hauteur d'une zone ou d’une calotte, et A l’aire de cette surface; on aura

K = 2?rRH.

654. i* r Corollaire. — Dans une même sphère, deux zones de métne hauteur sont équivalentes.

655. 2 ° Corollaire. — La calotte engendrée par un arc est équivalente au cercle qui aurait pour rayon la corde de cet arc.

En effet, la corde AC est moyenne proportionnelle entre CI) et CA' ; donc

AC = 2R.CA'; et l’aire delà calotte est

A = it AC .

Théorème XHI.

656. La surface de la sphère a pour mesure la circonférence d'un grand cercle, multipliée par le diamètre.

En effet , la sphère peut être considérée comme une zone dont la hauteur égale le diamètre.

657. Scolie. — Soit A l’aire d’une sphère de rayon R , on aura A = 4^’*

658. i cr Corollaire. — La surface de la sphère est équivalente à 4 fois celle d'un grand cercle.

659. 2' Corollaire. — Un fuseau sphérique a pour mesure le diamètre de la sphère, multiplié pari' arc correspondant à ce fuseau. ( Voyez n° 577.)

660. 3 e Corollaire. — Soient A, B, C les angles d’un triangle sphérique, l’angle droit étant représenté par i ; soient R le rayon de la sphère et T l’aire du triangle ; on a

• En effet, la mesurede ce triangle est A ■+■ B -+- C — 2 , en

prenant pour unité le triangle tri-rectangle(583);de plus, l’aire deee dernier triangle est j.4ttR’= JnR'; donc, etc.