PVous avons démontré, dans l’appendice au li

vré IV, que parmi toutes les* ligures planes, isopérimètres, le eèrcle a la. plus, grande aire. INous allons voir maintenant que , parmi tous les corps rie même- surface , la' sphère, a le plus grand volume. * •

Cette proposition repose sur plusieurs lemmes préli- 'minfires. ►

Lummi. 1.

682. Si, par les milieux a , h, c ( Jig . Ü 26 ) des arêtes latérales d'un prisme triangulaire tronqué, on fait passer un plan :

t°. Les deux segments du tronc seront équivalents;

2 0 . La section abc sera plus petite que la demi-somme

des bases ABC, A' BC' du ironct

i°. Le point a étant le milieu de AA’, les deux extrémités de cette droite sont également éloignées du plan abc. De môme, les extrémités de. BB’ et de CC' sont respectivement à égale distance -de co plan. Donc, les deux segments du tronc, ayant déjà môme base abc, seront équivalents (510).

a". Soient DEF, D'E'F' (Jig- il 27 ) les* projections des deux bases ABC, A' B’C', faites sur le plan abc. Les droites DD', EE\ FF' seront parallèles entre elles, et les points

a, b , c seront les milieux de ces «droites. Nbus aurons alors

abc — I) F. F -+- E bcle E b ali — D acY ,

abc — D'E'F' K'iaD'+ üVF' — Y.'bcY’.

3oo GÉOMÉTB1E.

Mais les six trapèzes sont équivalents deux à deux, comme ayant des bases égales et des hauteurs égales; donc

, DEF 4- D'H' F' tibc =. ; - . • — •

Ainsi , la section abc du tronc est équivalente à la demi-somme des projections des bases. Or, chaque base est plus grande que. sa projection (o(M) ; donc , etc.

Lehhe II.,