LIVRE HUITIEME

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que la partie centrante, ayant pour base a, soit audessous du plan. Alors, en construisant, sur la 4 même base, une figure qui soit symétrique de cette partie, par Rapport au plan , nous augmenterons le volume du corps , sans augmenter la surface qui le termine (lemme III); ainsi, la surface non convexe proposée ne renfermerait pas un volume maximum, ce qui'ost contre l’hypothèse^ donc, etc. ( Voyez n° 355.)

Lemme V.

686. Tout "plan qui divise en deux parties équivalentes un cotps maximum , divise aussi en deux parties équivalentes la surface de ce corps. (V oyez n° 355, 4°-)

Lemme VI.

687. Une surface qui, avec une aire donnée , renferme un -volume maximum , a une infinité de plans de symétrie.

Coupons cette surface par un plan quelconque qui la divise en deux parties équivalentes : le corps terminé par cette surface sera partagé aussi en deux parties équivalentes. Si la moitié supérieure F {fig. 328) n’est pas symétrique de la moitié inférieure E, construisons, au-dessus du plan ACBD, une surface E', symétrique de E par rapport à ce plan : les deux surfaces E', F seront équivalentes, et les deux corps renfermés entre ces surfaces et le plan AGBD seront équivalents (68i).

Coupons les deux surfaces E', F par une série de droites parallèles; les milieux de ces droites seront situés

sur une surface S, moindre que — — — c'est-à-dire

moindre que F (683); de plus, le corps compris entre les surfaces S, E sera équivalent au corps primitif; donc, à cause de S -+• E < F -f-, E, on pourrait enfermer le vo-

lurac primitif sous une surface ayant une aire; plus petite que l’aire donnée; ce qui est contraire à l’hypothèse.

Limjii VII.

(>88. Toute surface quia une infinité de /dans de symétrie, est une sphère ,

Menons, dans la surface, trois cordes parallèles quelconques AA', RB', CC {fi g. 329 ) : elles seront perpendiculaires au plan MN qui passe par leurs milieux

Par les points A, A', B, C, faisons passer une sphère : le plan MN, perpendiculaire au milieu de la droite AA' qui joint deux points de cette" surface , divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à AA' ; donc les points B , C' appartiendront à cette sphère.

Actuellement, menons la corde AB', et par les points B, C, menons, dans la surface, deux cordes parallèles à celle-ci ; les extrémités de ces cordes appartiendront encore à la même sphère..

Il suit de là que si l’on prend arbitrairement, sur la surface, quatre points A, A', B, C, et si l’on fait passer * une sphère par ces quatre points, ou pourra trouver autant de points que l’on voudra , communs à la surface et à la sphère; donc celte surface est une sphère.

Théorème.

B89. Parmi tous les corps de même surface , la sphère a le plus grand volume.

Cette proposition résulte évidemment de celles qui précèdent.