LIVRE HUITIEME

Problème III. .

On a tracé, sur la surface il' une sphère , quatre petits cercles égaux et tangents entre eux (Livre VII, problème V). On prend ces cercles pour Jbases de quatre cônes , égaux entre eux, et dont les surfaces sont tangentes à celle de la sphère. Quel est le volume du corps ainsi formé?

La circonférence de chaque petit cercle peut être regardée comme étant la base commune de la surface conique correspondante et de la surface d’une calotte sphérique. Si nous évaluons, par le problème I, le volume V du corps renfermé entre ces deux surfaces, et si nous ajoutons le quadruple de ce volume à celui de la sphère, le problème sera résolu.

Eu désignant par R le rayon de la sphère, et par r celui de la base du cône, nous avons trouvé (Livre FJI, problème F')

r = IR^ë.

Or, si dans le problème I, nous supposons BI) = ' R y'g ( fig . 33o), nous aurons

et

OD = V R» — BD' = i R y/3 , OT = a = R v/3.

La seconde formule trouvée dans ce même problème donne ensuite

Nous aurons donc

V = yjrR' -t- ÿ jiR 1 (2^3 — 3),

ou

Gl'OMÉTRIF.

3oG

’ . l*ROBLÈMi: IV 7 .

Un demi-décagone régulier, dont le côté est c, tourne autour du diamètre dit cercle inscrit. Quel est le volume V du corps engendré ?

Ce corps se compose de celui qui est engendré par le secteur polygonal régulier OBCDEFO ( Jig. 332), augmenté des deux cônes engendrés par OAB et OCF.

Or,

. vol. OB...FO = firOA (004),

vol. OAB = vol.OGF = |7rÂB X OA; donc, en appelant a l’apothème OA, nous aurons V = -ira' - 4 - j 7 r ac 1 .

Dans le décagone régulier, le rapport de l’apothème au

côté est égal à V 1 °+ 2 (3Q3) ; donc,

[ ( 10 - 4-2 v'5) V io -4- 2 V5 V io + 2 y/5 1