LIVRE DEUXIÈME

TuÉOnÉME xvn.

18S. L/nanglc dont le sommet est sur la circonférence a pour mesure la moitié de T ar<£ compris entre ses côtés.

Cet énoncé signifie qu'un angle tel que BAC (Jig. *), est la moitié de l’angle au centre BOC, correspondant à l’arc BC compris entre les côtes du premier.

Cela posé, plusieurs cas peuvent se présenter.

D’abord, si lçs Côtés de l’angle sont des sécantes, le centre peut être situé sur un des côtég, ou entre ûux, ou extérieurement à ces côtés.

i . Soit 1 angle BAD, dont l’un des côtés passe par le centre. Je dis que BAD est la moitié de BOD.

En eflet , l’angle BOD est extérieur au triangle isoscèle BOa ; donc , etc.

a° Soit 1 angle BAC. Je dis que cet angle est la moitié de BOC.

Menons le diamètre AOD ; nous aurons

BAD p y BOD, DAC = ^DOC,

donc , etc.

3°. On prouverait^ même. que l'angle BAE est la moitié de BOE.

Considérons maintenant l’angle BAC {Jig. 7 6), formé par une tangente AC et par une sécante AB.

Menons le diamètre AOD- L’angle BAC sera décomposé en un angle aigu BAD et un angle droit DAC. Or, l’angle BAD a pour mesure jBD, et l’angle droit a pour mesure le quadrans, c’est-à-dire jDEA. Donc, etc.

18B. i" Corollaire . — Tous les angles ACB, AC'B,

AC B, . . . . {jig. 77 ) ; inscrits dans un même segment ACB, sont égaux.

18/. Remarque . — A raison de celte propriété, le segment ACB est dit capable de l’angle ACB. %

Diçjiteed

188. 2 e Corollaire. ?7« angle inscrit est aigu, droit ou obtus , sçlon que l'arc compris entre ses côtés est supérieur, égal ou inférieur à la demi-circonférence . -

Théorème XVIII.

189. Un angle BAC (fig- 78 ), dont le sommet est dans la circonférence , cf pour mesure la demi-somme des arcs BC , DE , compris entre ses côtés.

Menons DC. L’angle BAC , extérieur au triangle CAD , est égal à la somifte des angles C et D. Or, l’angle C a pour mesure j DE, et l’angle D a pour mesure j BC. Donc la mesure de BAC sera 7 ( BC •+- DE).

Théorème XIX. ,

190. Un angle dont le sommet est hors la circonférence, a pour mesure la demi-différence des arcs compris entre ses côtés .

La démonstration est la même que celle du théorème précédent, excepté quand l’angle est formé par deux tangentes. Dans ce dernier^as , il est facile de voir que l’angle BAC (fg- 79 ) a pour mesure 7 (BDC — BEC).

191. Corollaire. — Le lieu géométrique du somme ) d'un angle dont les côtés passent par deux points fixes A , B ( fig. 77 ) , est un arc de circonférence.

Soit ACB une première position de l’angle. Par les trois points A, B, C faisons passer une circonférence (159). En vertu des trois théorème? précédents, un angle dont les côtés passent en A et B est égal à ACB , ou différent de ACB, suivant que son sommet est ou n’est pas sur l’arc ACC’B. Donc, etc.