Théorème. — Étant donnés^ sur une droite indéfinie
deux points A et B, il existe sur cette droite deux points M,
MA et deux seulement, tels que le rapport rr^ ^'^ ^^^ valeur
Mo
donnée. L'un des deux points est compris entre A et B, Vautre
ne Veat pas,
i"Cherchons un point M compris entre A et B [fîg. 173, (I)]
tel que le rapport r?K soit égal à -•
Si ce point existe, c'est que^ par définition du rapport (n*'243), si on divise MB en ià parties égales, MA contient 3 de ces parties.
A MB
Fig. i^J
Mais alors AB = MA + MB contient 3 + a = 5 de ces parties. D'où la construction suivante :
On partage AB en 2 + 3 = 5 parties égaies; le seul pom^ M, compris entre A et B, qui répond à la question, est celui obtenu en prenant, à partir de A, 3 de ces parties.
Le point M existe donc, car nous savons le construire, et il n*y en a qu'un entre A et B .
a» Cherchons un point M', non compris entre A et B, et tel
que ^ soit égal à?.
Si ce point existe, c'est que, si on divise M'B en 2 parties égaleà, M'A contiendra [fîg. 173, (II)] 3 de ces parties. M'A est donc plus grand que M'B,ce qui exige d'abord que M'
soit à droite, sur le prolongement de AB du côté de B. De plus AB = M'A — M'B contient donc 3—2 = 1 partie.
Il suffit donc de pi^olonger AB de 2 fois sa longueur, au delà de B, en BM', pour avoir le point M' cherché,
Dans l'exemple précédent le rapport donné - était plus
grand que i. Cherchons maintenant un point M', non
M'A 3 compris entre A et B, tel que nrp = 5 [^êT- '7^) (HI)]- Ceci
veut dire que, si on divise M'B en 5 parties égales, M'A contient 3 de ces parties. Cette fois, c'est M'B qui est plus grand que M'A et le point M' doit être à gauche, sur le prolongement de AB, au delà de A. D'ailleurs, comme AB = M'B— M'A, c'est que le segment' AB contient 5 — 3 r= 2 de ces parties.
D'où la construction suivante :
On partage AB en 5 — 3 ^= a parties égales, et on porte 3 de ces parties en M'A, au delà de A. Le point M' ainsi obtenu repond à la question et c'est le seul.
250. — Bemarque. — En résumé : il y a toujours un point M et un seul compris entre A et B, et un point M' et un seul non compris entre A et B, tels que les rapports
égaux
MA M'A MB ~ M'B
aient une valeur donnée à l'avance.
On dit que M partage AB en segments additifs et que M' partage AB en segments soustractifs dans le rapport donné.
Il y a cependant exception lorsque la valeur donnée est i .
En effet, si rrT7= i» cela veut dire que MB
MA = MB.
Il y a bien un tel point entre A et B, c'est le milieu de
AB; mais il n'y en a pas en dehors de AB, car pour tout point M' à droite [fig. 178, II)] M'A est plus grand que M'B
et ip|r>i ; pour tout point M' à gauche [fig. 173, (III)] M'A
M'A est plus petit que M'B, et ^p^ < i . Pour aucune position de
M' on ne p^ut avoir M'A = M'B.
251. -^ Proportions. — Étant données deux grandeurs demém^ e§pèceet deux autres grandeurs aussi de même espèce, qui diffère ou non de la première, on dit que ces quatre grandeurs fppfn^Xit iineproiportkni si le rapport des deux premières est ég§l au rapport des deux secondes.
Ëtant données deux séries de grandeurs correspondantes d'espèce» différentes ou non, si le rapport de deux grandeurs d'^pe série est égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de l'autre série, ces deux séries de grandeurs sont dites proportionnelles.
Nous avons rencontré fréquemment des exemples de grandeurs proportionnelles en arithmétique à propos de la Règle de trois.
