Proportions de grandeurs de même e9péce

— Considérons quatre grandeurs de même espèce A, B, C, D, par exemple quatre longueurs. Elles forment une proportion, si Ton a :

A C B = D' La première et la quatrième, A et D, sont appelées les termes extrêmes ;

La seconde et la troisième, C et D, sont appelées les termes moyens de la proportion:

253. — Théorème^ — Étant donnée une proportion de quatre grandeurs de même espéee, on obtient une nouvelle proportion si, dans celle qui est donnée, on permute :

V les moyens ;

2* les extrêmes;

3^ à la fois les moyens et les extrêmes.

Soient À, B^ C, D, quatre grandeurs de même espèce formant une proportion :.

Supposons, par exemple que la valeur Commune des'' rapports égaux (i) soit^- Dire que k est ég&[ à r» c'est

ire que :

>e môme

Ceci posé, supposons que le rapport |c soit égal à ^» nous allons prouver que 77 est aussi égal à 5» Or, dire que

D~"8' c'est dire que

Remplaçons B par sa valeur ^ D dans Tégalité (a) et

nous aurons :

ou, en intervertissant les deux facteurs ■? et ^1

Cemme, en vertu de l'égalité (3), - D n'est autre chose

que C, cette dernière égalité (5) s'écrit :

Ce qui prouve bien que le rapport ^ est aussi égal à ^;

g il est donc égal à yr, et on a :

Cette égalité (6) se déduit de (i) en permutant les moyens B et C.

6n démontrerait; de même, qu'on peut permuter les extrêmes.

Enfin, en appliquant successivement les deux propositions i" eta% on en déduit la troisième.

254. — Résumé. — En résumé, lorsque quatre grandeurs de même espèce A, B, C, D forment une proportion, CD a simultanément les quatre égalités suivantes :

255. — Remarqu.e. — Nous avons déjà étudié en arithmétique le^ proportions de nombres. Nous savons que ces proportions jouissent des propriétés précédentes ; mais nous savons qu*en outre : lorsque quatre nombi^es forment une propmHiony le produit des moyens est égal au produit des extrêmes.

Nous ferons fréquemment usage de cette propriété, mais alors il faudra toujours supposer essentiellement qu'il ne s'agit pas de grandeurs, mais des nombres qui les mesurent.

256. — Théorème de Thsîiés.— Plusieurs droites parallèles interceptent sur des sécantes quelconques des segments proportionnels .

Soient deux droites A et à' (ûg. 174) coupées par les quatre parallèles AA', BB', CC, DD' qui rencontrent A en A, B, C, D et A' en A', B', G', D'.

170 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTUIË.

11 s'agit de montrer que Ton a :