A'B' B'C.=:^ X BC
D'ailleurs, d'après l'égalité (i), on a aussi :
A'B' B'C=:::^XBC.
Les deux segments B'C, et B' C sont donc e^aiw? et, comme Us sont de m^me sens, Cj coïncide avec C. On prouverait de môme que OD passe par D'.
275. — Remarque. — Lorsque la valeur commune des rapports (i) est égale à i et qu'en outre les segments cor-
respondants sont de même sens, les droites AA', BB', ce, etc., sont parallèles, au lieu d*être concourantes.
C'est évident, car, dans ce cas, les segments correspondants tels que A' B' et AB sont égaux, parallèles et de même sens (n" 61).
Homothétie. — Similitude.
276. — Première notion de la similitude. — Nous avons, par Texpérience, une notion intuitive de la similitude. Voici (fîg. i86) ,deux dessins. Ils représentent manifestement le mêm£ chalet rustique, c'est le mém^ paysage
et cependant ces deux dessins ne sont pas identiques.
Fig. x86.
Cela tient à ce que ces deux dessins ont la même foi^me quoique n'ayant pas la même grandeur.
Si on les compare avec un peu d'attention, on constate que, dans les deux dessins :
i" Les angles correspondants sont égaux ;
2" Les lignes correspondantes sont propwHionnelle&,
Toute ligne du dessin de gauche est double de la ligne analogue du dessin de droite; et inversement toute ligne du dessin de droite est la moitié de la ligne analogue du dessin de gauche.
HOMOTHÉTIE. SIMILITUDE.
Le petit dessin est la réduction à l'échelle i/a du grand dessin; et inversement le grand dessin est Vagrandissement à Féchelle double du petit dessin.
Ce sont là des figures semblables. L'un des procédés les plus simples pour obtenir une figure semblable à une figure donnée est Vhomothétie qui est un procédé de transformation analogue à celui de la projection, qu'on emploie pour effectuer les agrandissements en photographie.
277. — Définition de l'homothétie. — Étant donnée une figure (F) (fig. 187), un point O dit centre d'homothétic
Fig. 187. — Figures liomothétiques
et un nombre fixe
k appelé rapport éHhomothétie, si à
chaque point A
de la figure (F)
on fait corres-
/'pC
pondre un point
A' situé sur la
droite OA tel que
si, en outre, les
segments OA' et
OA sont de même sens, on ob-
Fig. 188. — Figures homothéiiques.
tient une figure
(F') dite homothétique directe de la
figure (F); si, au contraire (i\g. 188), les segments OA' et
184 ËLÉMEMS DE GEOMETRIE.
OA sont de sens contraires, on obtient une figure (F') dite homothétique inverse de la figure (F).
En d'autres termes :
Deux figures (F) et (F') sont dites bomotbétiques, si à tout
point A de (F) correspond un point A' de (F') tel que :
i^ La droite A A' passe par le centre d^bomotbétie ;
OA' 2^ Le rapport -^ soit égal au rapport k d'homothétie ;
39 Les segments OA' et OA soient de même sens si Vbomotbétie est directe, ou de sens contraires si rbomotbétie est inverse.
Les points A et A' qui se correspondent dans la transfœ*mation sont dits bomologues.
278. Remarque I. —Si (F') est la figure homothétique de (F) dans le rapport k, réciproquement (F) est la figure
homothétique de (F') dans le rapport p car, si
oa;ob;oc'
OA —QB ~"0C ~ '
on a inversement :
OA 0B 0C i OA'~OB''~"OC'~"F
' Si k est plus petit que i, (F') est une réduction de (F) dans le rapport k; alors r est plus grand que i, et (F) est un agrandissement de (F') dans le rapport t-
Ainsi dans les figures 187 et 188, le nombre k est égal k — (F') est une réduction de (F) dans le rapport i/a ; réciproquement (F) est un agrandissement de (F') dans le rapport -^-^ = a.
279. Remarque 11. — La symétrie n'est qu'un cas particulier de l-homothétie inverse, oii le rapport d'homothétie est 1 .
HOMOTHÉTIE. SIMILITUDE. 185
Car (fig. 187), si le rapport d^homothétie est i, on a : OA = OA', OB = OB', etc.; et les points A et A', B et B', etc., sont deux à deux symétriques par rapport à 0.
Deux figures homothétiques directes dans le rapport i coïncident évidemment,
280. Théorème. — La ùgnre bomotbétiqne d'un segment rectiligne est un autre segment rectiligne qui est :
i^ Parallèle an premier ;
2^ Dans un rapport^ avec le premier, égal au rapport d^bomotbétie ;
39 De même sens qjie le premier ou de sens contraire, suivant que rbomotbétie est directe'ou inverse.
Soit, en effet, AB un segment (fig. 189), O le centre d'homothétie et k le rapport d'homothétie. ^ A
Construisons d'à- A^
bord les homolo- ^^^ ^^-H
gués A' et B' des points A et B.
Par définition, on aura :
OA' OB' , Pifir- Ï89. — Segrm«nl8 homothéliques directement.
ÔÂ ""ôb"" ^'
11 en résulte d'abord que les droites A'B' et AB sont parallèles puisque (n* 260) A' et B' divisent OA et OB en segments proportionnels.
Soit alors M un point quelconque de AB ; joignons OM qui coupe A'B' en M'.
D'après le théorème du n* 259, on aura :
OM'OA' ÏÏM ~0A~''-
M' est rhomologue de M. L'homologue de tout point de AB est donebien situé sur A'B', qui est parallèle à AB.
D'ailleurs, d'après le théorème du n** 269, A'B' OA' ,
Les deux segments A'B' et AB sont dans le rapport k d'homothétic.
Enfin, d'après la remarque du n" 273, A'B' et AB sont parallèles et de même sens si l'homothélie
Se^'raents liomolhétiqucs inverse- est directe (fig*. '89),
'"^" mais parallèles et de
sens contraires si l'homothétie est inverse (fig. 190).
281. Théorème. — La figure bomotbétique d'un cercle est un cercle.
Soit (fig. 191) un cercle de centre C, et Ole centre d'homothétie. Prenons un point quelconque M sur le cercle,
Fig. 191. — Centre d'homothétie directe de deux cercles.
et soient C et M' les homologues des points C et M. Les deux segments C/M' et CM sont parallèles et de plus : C'M' CM ~" C'est-à-dire :
