DE AE AD

BC'~AC~AB'

Comme A'B'=AD, les derniers rapports (3) et (4) sont

HOMOTHÉTIE. SIMILITUDE. 195

égaux. Il en est donc de même des autres. On en conclut, en comparant les deux premiers,

B'C' = DE; et, en comparant les deux seconds, A'C' = AE.

Les deux triangles A'B'C'etADE sont donc égaux en vertu du troisième cas d'égalité des triangles, car leurs trois côtés sont égaux chacun à chacun.

293. — Remarque. — On voit que ces trois cas de similitude de deux triangles correspondent respectivement aux trois cas d'égalité auxquels, au fond, ils se ramènent.

294. — Théorème. — Si d'un point du plan d'un cercle on mène une sécante, le produit des segments, ayant pour origine ce point et pour extrémités les points d'intersection de la sécante avec le cercle, reste constant lorsque la sécante tourne autour du point.

Soient OAB et OA'B' (fig. 199) deux sécantes issues de 0, qui coupent un cercle en A, B et A', B'.

Joignons AB' et BA'; les angles ABA' et AB'A' étant égaux comme ayant tous deux même mesure que la moitié de Tare AA', les deux triangles OA'B et OAB' sont semblables comme ayant deux angles égaux, car Tangle en est commun. Les côtés opposés aux angles égaux sont donc proportionnels, et on a

oa ob;

0A'~0B' ce qui donne (n* 255) :

OAxOB — OA'XOF'.

Fig. 199-

Puissance d'un point par rapport à un cercle.

19j éléments de Géométrie.

Le produit OAxOB est donc le même pour deux sécantes quelconques; il est donc constoni quand la sécante pivote autour de -0.

Ce produit constant est ce qu'on appelle la pulssanee du point par rapport au cercle.

Il est clair que, dans cette proposition, il s'agit des nombres qui mesurent les segments OA, OB, OA' et OB' et non pas de ces segments eux-mêmes.