Corollaire

Fi^. aoo.

La puissance d'un point par rapport à un cercle est égale à la différence des carrés de la distance de ce point au centre du cercle et du rayon du cercle.

Menons, en efTel, la sécante OC qui passe par le centre C du cercle et coupe le cercle en A et B. Soient OG = d, et R le rayon du cercle. I" Si le point est extérieur au cercle (fig. aoo), on a : OAr=OG — CA = d-R, OB=:OG + GB = rf+R.

La puissance est donc :

OAxOB = (d-R) (d + R) = d»— R».

a" Si le point est à l'intérieur du cercle {Qg. aoi), on a :

OA = CA-OG = R-d,

OB = CB + OC = R + d.

La puissance est donc :

OAxOB=:(R — dj(R + cO^R« — d».

296. — Corollaire II. — Le carré de la tangente à un cercle, menée par un point extérieur, est égal à la puissance du point par rapport au cercle.

HOMOTHETIE. SIMILITUDE. 197

D'un point (fig. aoo), extérieur à un cercle, menons une sécante quelconque OMM'. La puissance de par rapport au cercle est le produit :

OMxOM'.

Si Ton imagine que la sécante pivote autour de 0, de façon que les deux points M et M' viennent se confondre, elle devient la tangente OT. Les deux segments OM '''■ "'* et OM' deviennent égaux tous deux à OT et la puissance est

OTxOT=:ÔT'.

297. — Remarque. — En comparant les deux expressions de la puissance donnée par ces deux corollaires, on a :

OT'=(i' — R'=OC' — CT'.

On en conclut, dans le triangle rectangle OCT,

ôc*=ôt'+ct*.

C'est le théorème de Pythagore que nous retrouverons plus loin.

298. — Moyenne proportionnelle. •— Lorsque, dans une proportion, les deux extrêmes ou les deux moyens sont égaux, leur valeur commune est ce qu'on appelle la mo.^enne proportlfmnelle, ou encore la moyenne géométrique entre les deux autres termes.

Ainsi, œ

est moyenne proportionnelle entre a

et b

si on

on a :

ou, ce qui

revient au même, x~

On en conclut, dans les deux cas :

X* == aby

x=^ab'

Le carré de la moyenne géométrique de deux nombres est égal au produit de ces deux nombres;

ou encore :

La moyenne géométrique de deux nombres est la racine carrée de leur produit.

299. — Exemple. — Si d'un point extérieur à un cercle on mène la tangente et une sécante, la tangente est moyenne proportionnelle entre les deux segments ayant pour origine commune le point, et pour extrémités les points d*intersection de la sécante avec le cercle.

Car (fig. 200) on a : OT* = OMxOM'.

300. — Théorème. — Deux triangles qui ont leurs côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires sont semblables.

Car : i" s'ils ont les côtés parallèles, ils sont homothétiques (n° 285), donc semblables;

a» S'ils ont leurs côtés perpendiculaires, une rotation de 90** de l'un d'eux dans son plan amène les triangles à avoir les côtés parallèles.

301. — Théorème. — Deux polygones semblables ont : i* les angles homologues égaux;

2^ les côtés homologues proportionnels.

Car cela a lieu pour deux polygones homothétiques (n" 284) et subsiste lorsqu'on les déplace.

302. — Résumé. — De tout ce qui précède, il résulte que les propriétés essentielles de la .transformation d'une figure par similitude, réduction ou agrandissement, sont les suivantes :

HOMOTUÉTIE. SIMILITUDE. 199

Lorsqu'on transforme une figure par similitude : V Les angles de la figure se conservent; 2* Les rapports mutuels des lignes de la figure se conservent.

Car si AB, CD sont deux segments rectilignes de la figure F et A'B', CD' les segments homologues de la figure semblable F', on a :