Lignes trigonométriques d'un angle aigu

— Considérons un angle aigu quelconque aîOj/ (fig. 208). D'un point M d'un des côtés, Oy par exemple, abaissons la perpendiculaire MP sur l'autre côté Ox.

Nous formons ainsi un triangle rectangle

OMP dont xOy est 1 un des angles.

La définition des lignes trigonométriques de l'angle repose sur le fait fondamental que voici :

Les rappœ^ls, deux à deux, de deux côtés du triangle sont indépendants du choix du point M, et ne dépendent que de la

grandeur de V angle xOy.

En effet, si le point M se déplace sur xOy, en M', M", etc. . . les divers triangles rectangles obtenus sont semblables, puisquHls ont un angle aigu commun (n» 305). On a donc, par exemple :

Fig. ao8.

ÔM--ÔM'-~OM"-

Le rapport )r^ reste donc constant, il a toujours la même

valeur numérique lorsque M se déplace sur Oy.

Ce sont ces rapports des côtés du triangle MOP, pris deux à deux, que Ton appelle les lignes trigonométriques

de l'angle xOy.

312. — Définitions. — Étant donné un angle aigu a, on forme un triangle rectangle dont a est l'un des angles :

I* On appelle mimwuê de V angle a, et on désigne par la notation :

sina

le rapport du côté opposé à Vangle a à l'hypoténuse. Ainsi (fier. 3 08), par définition, on a :

2" On appelle coslans de F angle a, et on désigne par la notation :

cosa

le rapport du côté de l'angle droit adjacent à Vangle a à V hypoténuse.

On a donc, par définition (fig. ao8),

cosa = ^.

3** On appelle aut^ente de Vangle a, et on désigne par la notation :

iga

te rapport du côté de Vangle droit opposé à Vangle a à Vautre côté de Vangle droit.

On a donc, par définition (fig. 208),

4** On appelle cotangenfe de Vangle a, et on désigne par la notation :

COtga

TRIANGLES RECTANGLES, LIGNES TRIGONOMETRIQl'ES. 207

le rapport du côté de V angle droit adjacent à V angle a. à Vautre côté de Vangle droit.

De cette définition il résulte (fig. 108) que

OP cotga=p.

Les quatres lignes trigonomélriques d'un an^le, ainsi définies, sont des nombrts qui dépendent uniquement de la valeur de l'angle et varient avec lui.

On trouvera, à la fin du volume, un tableau des valeurs de ces quatre lignes pour tous les angles de o» à 90», de degré en degré (page 376). Nous en préciserons l'emploi plus loin.

313. — Théorème. — Lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de Vautre, et la tangente de Vun est égale à la cotangente de Vautre.

Ceci résulte immédiatement des définitions précédentes et du fait que dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.

En effet, si dans le triangle rectangle OM P {iig. 208) l'angle en est égal à a, l'angle en M est son complément

QO* — a.

MF D'après les définitions ci-dessus, le rapport tt^ est, à la

fois, le sinus de l'angle a opposé à MP et le cosinus de l'angle 90® — a adjacent à M P. On a donc :

sin a = cos(9o<^ — a).

De même, le rapport -rr^ donne :

cosa=sin(9o<> — a).

MP Le rapport tt^ est, par définition, égal, à la fois» à

tga=cotg(9oO — a); et le rapport ^rrp donne enfin :

COtga=tg(9oO— a).

314. — Remarque. — Les noms de cosinus et cotangente sont précisément formés dans le but de rappeler ce théorème : cosinus veut dire sinus du complément et cotangente signifie tangente du complément., co étant les deux premières lettres du mot complément.

315. — Relations entre les lignes trigonométriques d'un même angle. — Dès qu'on connaît une ligne trigonométrique d'un angle aigu, cet angle est déterminé'^ il en résulte que les trois autres lignes trigonométriques le sont aussi. On doit donc pouvoir calculer trois lignes tri-

^gonométriques d'un angle connaissant la quatrième. Ceci se fait au moyen des relations suivantes :

316. — Relation I. — La somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à i .

Soit, en effet (fîg. ao8), l'angle aigu a appartenant au triangle rectangle OMP. Par définition, on a :

COSa==gjj.

On en conclut :

... , MP' , ÔP* MP'-fÔP*

Sm* a + COS* a= ,==z + .=-,— =z — .