Variations de la tangente et de la cotangente

— Soit (fîg. aïo) l'angle xOy = a. Prenons surOo? une longueur OP égale à l'unité de longueur et élevons en P la perpendiculaire PQ qui coupe Oy en M. On a, par définition, puisque OP = i,

tg a = MP.

Imaginons alors que, la semi-droite Ox restant fixe, la semi-droite Oy tourne autour de dans le sens de la flèche /*.

Le point M se déplacera sur la droite PQ.

Oy coïncidant d^abord avec Oa?, M est en P, et on a : MP=o. Par suite,

tg 0<*=:0.

Lorsque Tangle « croît, la longueur MP croît; par suite, tg a croît en même temps que a.

A mesure que l'angle a s'approche de 900, le point M passe successivement par les positions M', M", etc. (fig. a 10),

et s'éloigne de plus en plus. L'angle OMF=:9oO —a, complémentaire de a, décroît et tend vers zéro.

Or, si Von mène en la perpendiculaire OB sur Oo?, parallèle à PxM, l'angle MOfe est égal à l'angle OMP =900— a,

comme alternes internes.

Lorsque M s'éloigne suivant M', M", etc., les angles OMP,

/\ /\ OM'P, OM"P, etc., diminuent et tendent vers zéro ; il en

est de même des angles égaux MOB, M'OB, M"OB, etc.

Par suite, lorsque M s'éloigne indéfiniment, le rayon Oy tend à prendre la position OB et l'angle a tend vers go®.

En d'autres termes, lorsque l'angle a tend vers 90°, le point M s'éloigne indéfiniment et tg a croît indéfiniment. On dit que la tangente de l'angle de 90** est infiniment grande et on indique cela par le symbole 00 (infini);

La cotangente, étant l'inverse de la tangente, varie en sens inverse.

En résumé :

Lorsque V angle a croît de o^ à 90^ :

tg a croît de o à Vintini ; cotga décroît de Vintini à o.