AC

SinB = r^7r, =-•

BC a

On en tire :

6=:=asinB.

On a donc, dans le triangle ABC, les quatre relations suivantes :

C fe=asinB, b = a cosC, ^ c=asinC, c = a cosB.

327. — Théorème. — Dans un triangle rectangle un côté de Vangle droit est égal à Vautre côté, multiplié par la tangente de ï angle opposé au premier côté ou par la cotangente de Vangle aigu adjacent.

Car, par exemple, par définition de la tangente d'un angle, on a (fig. 212):

D'où l'on tire :

fe = c tgB.

On a donc, dans le triangle rectangle ABC, les quatre nouvelles relations :

(6 = ctgB, 6=:ccotgC,

( C = bigC, C=r:feC0tgB.

328. — Exercice. — Dans un triangle rectangle ABC on connaît : V hypoténuse a = ^"^,^5 et un angle aigu B = 3;®. Calculer les autres éléments»

On a (n- 326) :

6 = a sinB = 3,^5 x sin 37*^.

La table (page 376) donne

sin 370:=o,6oi8a.

Donc :

6 = 3,25 xo,6oi82== i^j^ô.

De même (n** 326)

c = a cos B = 3, a5 X cos 37O,

Enfin l'angle C est le complément de B :

329. — Exercice. — Dans un triangle rectangle ABC, on connaît les deux côtés de Vangle droit

Calculer les autres éléments.

L'angle B est donné par sa tangenle (n° 327)

Les tables donnent, à i* près par excès, B = 56o,

en prenant le nombre de la table le plus voisin de i,48o3, soit au-dessus, soit au-dessous.

On en conclut ;

L'hypoténuse a est donnée par :

6 = asinB, d'où on tire :

a=—. — îT=-: ?77i= s -=:0",02.

sin B sin 56» 0,82904 '

Remarque. — On aurait pu calculer l'hypoténuse a au moyen de la formule de Pythagore

Il est facile de voir que ce calcul serait beaucoup plus long que le précédent, car il exige deux multipUcations, une addition et une extraction de racine carrée.

330. — Projections orthogonales. — Théorème. — La projection orthogonale d'an segment sur une droite est égale au produit de ce segment par le cosinus de Vangle aigu qu^il tait avec la droite.

Soit AB un segment (fig. 21 3) et A'B' sa projection sur une droite xy. Menons par A la parallèle AC à xy qui coupe BB' en C.

L'angle CAB = a estTangle de AB avec xy. Dans le triangle rectangle ABC on a (n'» 326) :

AC=AB cosa;

D'autre part, AC et A'B' sont égaux comme côtés opposés d'un rectangle. On en

conclut :

A'B'=AB cosa.

331*.— Lignes trigonométriques d'un angle obtus.

— Nous supposerons ici que Von connaisse les nombres négatifs*.

Les valeurs des lignes trigonométriques d'un angle obtus résultent de la définition suivante :

Deux angles supplémentaires ont même sinus,et des cosinus^ tangentes et cotangentes respectivement opposés.

Ainsi les angles de 3oO et 1 5oo étant supplémentaires, on a :

Fig. «3.

sin iSo^ =sin So^ = -,

COS 1 5oO = — cos 3oO =: »

tgi5oO = - tg3oO = - -=, cotg iSo^ = — cotg 3oO = — y^.

1. Les n" 331 à 338 sont destinés aux élèves de Première A et B.