Voir nos Éléments ou notre Précis d'algèbre, Chapitre

332. — Théorème. — Dans un triangle quelconque le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres

côtés, augmentée ou diminuée du double produit de Vun de ces côtés par la projection de Vautre sur luif suivant que Vangle opposé au premier côté est aigu ou obtus.

Fig. ai4.

!• Soit ABC un triangle quelconque et AD la hauteur issue de A. Supposons d'abord Tan gle C opposé au côté AB aigu. Le point D tombe alors (fig. 2i4) entre B et C.

Dans le triangle rectangle BAD, on a :

(i) ÂB'— BL)* + AD'.

D'autre part, dans le triangle rectangle ACD, on a :

(a) ÂD*=ÂC'-GD*

et, le point D étant entre B et C, on a aussi :

BD^BC — CD, d'où, en élevant au carré :

(3) BD* = BC' + CD* - uBC X CD.

En ajoutant, membres à membres, les égalités (a) et (3), on en conclut :

ÂD' + BD'=ÂC' - CD* + BG' + CD* - a BC X CD.

En simplifiant, et remplaçant AD*+BD* par sa valeur ÂB*, il vient :

ÂB'=AC* + BC — aBCxCD.

CD élant la projection du côté AC sur BC, cette égalité est bien conforme à l'énoncé.

a** Supposons (Vig. ai5) Tangle C obtus. Daas ce cas, le point D tombe quelquepart sur le prolongement de BC, au delà de C.

On a encore les deux éga- c

lilés : ^ /à

(i) AB*=Bir + AD' et B ^ C

(a) ÂD' = ÂG' — CD*. ^'is-^s-

Mais ici, C étant entre B et D, on a :