BD = BC + CD

d'où, en élevant au carré,

(5) BD'^Br + CD' + aBGxCD.

Ajoutant, membres à membres, les égalités (i), (a) et (5) et simplifîant,îl vient :

(6) ^ ÂB' = ÂC' + BC*-f-îBCxCD.

333. — Remarque. — Lorsqu'on se sert des lignes trigonométriques pour évaluer la projection CD, les deux théorèmes précédents se condensent en un seul, qui est le suivant.

334. — Théorème. — Dans un triangle quelconque, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée du double produit de ces deux côtés par le cosinus de Vangle compris.

En effet, CD, étant la projection de AC sur BC, est égal au produit de AC par le cosinus de l'angle aigu que fait AC avec BC.

!• Si l'angle C du triangle est aigu (fig. »i4), on a :

CD = AC. cosC

Remplaçons CD par cette valeur dans l'égalité (4) et elle devient :

ÂB' = ÂC*^-BG'-2BG.AC. cosC.

2** Si Tangle C du triangle est obtus (fîg. 21 5), Tangle

aigu ACD que fait AC avec BC est le supplément de Tangle C du triangle. On a alors :

GD = AC cos (180O — C);

mais, par définition (n** 331),

cos (180O — C)=— cos G;

on en conclut :

GD- — AG. cosG,

et, en portant cette valeur de CD dans l'égalité (6), on obtient la même égalité que plus haut :

ÂB' = ÂC'4-BC*^2BG.AG. cos G.

335. — Formules. — Désignons par a, 6, c les longueurs des côtés du triangle ABG respectivement opposés aux sommets A, B, G, et par A, B, G les angles, évalués en degrés :

A + B + G=i8oO.

En appliquant successivement le théorème précédent aux trois côtés du triangle, on obtient les trois formules suivantes :

/ a* = 6*-fc' — 26c cos A, I 6* = c*-|-a« — 2ca cosB, / c« = a«-|-6« — 2a6 cosC.

Elles permettent de calculer le troisième côté d'un triangle connaissant les deux autres côtés et l'angle compris.

336. — Théorème. — Daas un triangle quelconque, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

Soit ABC un triangle et AD la hauteur issue du sommet A.

i' Supposons tous les angles du triangle aigus (fig. !ii4). Dans les triangles rectangles ABD et ACD on a alors (n« 326) :

(i) AD = AB.sinB,

(i) AD = AC.sinC.

2* Supposons Tangle C obtus (fig. ai 5). L'angle ACD du

triangle ACD est alors le supplément de l'angle C du

triangle. Dans les triangles rectangles ABD et ACD on a

alors :

AD = AB sinB,

AD = AC sin (i8oO — C) = AC sinC,

puisque deux angles supplémentaires ont, par définition, même sinus.

En résumé, dans les deux cas, on a les mêmes égalités (i) et (a). Égalons les deux valeurs de AD, on obtient :

AB sinB=AC sinB,

d'où Ton déduit :