POLYGONES RÉGULIERS. CIRCONFÉRENCE DU CERCLE

Si Ton fait tourner la figure (fig. a 1 7) autour du centre d'un angle égal à l'angle au centre du polygone, le cercle circonscrit glisse sur lui-même, le sommet A vient en B, B en C, C on D, etc. Le polygone coïncide avec lui-môme. CeU met bien en évidence qu'il est régulier.

344. — Théorème. — Deux polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables.

Car si on les transporte de façon à être concentriques et à ce que les angles au centre (qui sont égaux) coïncident, les deux polygones sont homothétiques par rapport au centre commun.

345. — Carré. — Le polygone régulier de quatre côtés est le cai^^é.

D'après ce qui précède, pour construire un carré inscrit dans un cercle, il faut partager le cercle en quatre parties égales.

Il suffit, à cet effet, de construire deux diamètres AC et BD rectangulaires (fig. 218); ils partagent (n** 105) le cercle en 4 quadrants.

Fig. 218. — Carré.

346. — Calcul du côté. — Soit a le côté du carré ABCD inscrit dans le cercle de rayon R.

Dans le triangle rectangle isocèle OAB {ii%. 118) on a, en vertu du théorème de Pythagore,

âb'=ôâ'+ôb'

ou :

a» = R« + R« = aR».

En extrayant la racine carrée

a=Rv^î.

347. — Diagonale. — La diagonale du carré est le double <iu rayon. C'est donc :

D'ailleurs, directement, dans le triangle isocèle ABC,

on a : ^

AC* = AB* + BC'=a« + a« = 2aS

AC = av/â.

348. — Remarque. — Nous avons là un premier exemple de deux grandeurs incommensurables entre elles.

Le côté d'un can^é et sa diagonale sont deux segments incommensurables entre eux.

En effet, nous venons de prouver que le can^é du rap

AC port yr d® 1* diagonale au côté est égal à 2. Or, il n*y a

aucun nombre entier ou fractionnaire dont le carré soit

exactement égal à a. Le rapport -^ n'est égal ni à un nombre

entier ni à un nombre fractionnaire, il est dit ii^*ationnel. Pratiquement, comme nous l'avons vu (n" 245), on ne peut que calculer des valeurs approchées de ce rapport, mais on peut toujours calculer assez de décimales pour que l'erreur commise soit pratiquement négligeable. On aura ici les valeurs approchées en extrayant la racine carrée de 2, on aura donc :

-p^ =1,4142 ( a près )•

AB \ loooo'^ y

349. — Hexagone régulier. — Le côté d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon de ce cercle.

Soit ABCDEF (fig. 2 19) un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre 0.

/\ 36oO

L'angle au centre AOB vaut -^ =6o<>. Par suite, dans le

POLYGONES RÉGULIERS. CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. ï29 triangle isocèle OAB, les deux angles à la base A et B valent

chacun

Le triangle AOB est donc équilatéral puisque ses trois

angles sont égaux, et on a :