BD CE
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308. Parlesonunet A d'un parallélogramme ABCD, on mène une droite quelconque rencontrant BC en M et CD en N. Démontrer que le produit
BMXDN
est constant.
309. Par le sommet C d'un parallélogramme ABCD, on mène une sécante qui rencontre la diagonale BD en M et les côtés AD et AB respectivement en F et E. Démontrer que l'on a :
1IC* = MEXMF.
EXERCICES PRATiaUES.
310. Soit D une droite, un point à 48 de D. Construire les figures
directement iiomotliéliques à D par rapport au point 0, avec le rapport - 1
puis avec le rapport — • Construire aussi la figure inversement homotlié-
tique à D par rapport à avec le rapport —•
311. Soit un triangle ABC, rectangle en A, avecAB = 4o, AC = .'»4; construire A'B'C directement liomothéti(|ue à ABC par rapport à G, avec le
rapport - ; construire A'B'C* inversement homothétique à A'B'C par rapport
à B' avec le rapport -• Voir que ABC et A'B'C* sont inversement bomo-
tliétiques, construire leur centre d'homothétie, et déterminer leur rapport d'iiomothclie.
312 Construire le pentagone non convexe ABCDE, nyant AB = 6o; angle B = 100O; BC = 5o; angle G=:650; CD=:4o; D et A d'un même côlé de BC; angle D = 8o^; Ë sur le prolongement de CB, B entre E et C.
Construire l'inversement homothétique A'B'C'D'E' de ce polygone par
OB rapport au point de concours de AC et de DB, avec le rapport ~ ; vérifier
que C\ B', E' sont sur une même droite parallèle à BC.
313. Soient et 0' deux points dont la distance est 6o; décrire les cercles et 0', de rayons 3o et i8, construire leurs centres d'homothétie directe et inverse S et T, mesurer SO, SO', TO, TO', et comparer les résultats de la mesure avec ceux du calcul.
Mener les 4 tangentes communes aux deux cercles.
314. Soit un cercle de 5o de rayon, 0' un de ses points pris pour centre d'un cercle de 3o de rayon ; ces deux cercles se coupent en 0" centre d'un cercle de ao de rayon. Construire les centres d'homothétie directe S, S', S' de 0' et 0", 0" et 0, et 0'; puis leurs centres d'homothétie inverse T, T', T".
Mesurer les distances SO' et SO", TO' et TO", etc., et comparer les résultats de la mesure à ceux du calcul.
Vérifier que S. S', S* sont sur une même droite, que S, T', T* sont sur une seconde droite, S', T*, T sur une troisième. S", T, T' sur une quatrième. (Les quatre tuxes d'homothétie de trois cercles.)
315. ReprendrelepolygoneABCÛË de l'exercice 312 et construire le polygone semblable à Téchelle - :
i« Par les angles égaux et les côtes homologues proportionnels ;
2» En craticulant le modèle (couvrir le modèle par un réseau de carrés égaux) par des carrés de lo de côté ayant un côté parallèle à BC.
316. Tracer au hasard une ligne courbe quelconque, et construire une ligne semblable, non homuthétique, en agrandissant le modèle dans le
rapport- (méthode des carreaux).
317. Sur une droite indéfinie, prendre 3 points A, B, C; B entre A et C; AB = 5o, AC=:90. Par A et B faire passer plusieurs cercles différents en interrompant les traits à leur passage en A et en B pour conserver ces points. De C mener des tangentes à tous ces cercles, voir qu'elles sont égales, mesurer et calculer leur longueur commune.
Prolonger AC de CD = 4o=:CB; décrire le cercle sur AD comme diamètret et voir que la demi-corde CE, perpendiculaire en C sur AD, est égale à l'une des tangentes.
Décrire le cercle sur AC comme diamètre, mener la demi-corde BF perpendiculaire à AC, et voir que BF = C£.
318. En un point I d'une droite indéfinie XY, construire l'angle YIB égal à 73®, et porter dans un même sens :
IA = 7, IB = 5o.
Construire le cercle (deux déterminations) qui passe par A et B et qui touche XY.
A cet effet, prendre la moyenne proportionnelle à lA et IB, en prolongeant BI de IG = IA, décrivant le cercle de diamètre BC, élevant en I la demi-corde ID perpendiculaire à BC, et rabattant ID sur XY en lE et lE'. Les points E et E' sont les contacts de XY avec les cercles inconnus, dont les centres sont déjà sur la perpendiculaire à AB en sou milieu.
319. Soit XOY un angle de 6o<*; sur sa bissectrice, prendre OH = 40: mener HA:= i4 perpendiculairement à OH. Construire le cercle (2 déterminations) langent à OX, OY et passant par A. Ce cercle ayant son centre sur OH, OH est un axe de symétrie, de sorte que le cercle passe par B symétrique de A par rapport à OH. On est- ramené à l'exercice précédent.
EXERCICES THÉORiaUES.
320. Par le point de contact de deux cercles tangents intérieurement ou extérieurement, on mène deux sécantes, et on joint leurs points de rencontre avec le même cercle. Démontrer que les cordes obtenues sont parallèles.
321. Par le point de contact de deux cercles tangents, on mène une sécante quelconque, et on construit les tangentes aux points où cette sécante rencontre les deux cercles. Démontrer que ces tangentes sont parallèles.
322. Trouver le lieu géométrique des points dont les distances à deux droites fixes sont dans un rapport constant, égal à un nombre donné.
BooRLET. — Éléments de géom. 16
323. Par le point de rencontre I des diagonales d'un quadrilatère ABCD, on mène les droites IM et IN respectivement parallèles à BC et à CD, et rencontrant AB en M et AD en N. Démontrer que MN est parallèle à BD.
[Arts et Métiers),
324. Étant donnés un point A et deux droites MN et PQ, mener par A une droite rencontrant MN en B et PQ en C, de manière que le rapport
— soit égal à un rapport donné ^« ALi (f
325. Toutes les parallèles à la base d'un triangle et limitées aux deux côtés ont leur milieu sur la médiane relative à la base.
326. D'un point donné C comme centre, décrire un cercle coupant les côtés d'un angle xOy de manière que la droite passant par deux des points d'intersection soit parallèle à une droite donnée.
327. Par le point de rencontre I des médianes BM et GN du triangle ABC, on mène la parallèle à BG ; elle rencontre AB en P et AG en Q. Démontrer que le point I est le milieu de PQ, et que la droite Al passe par les milieux de MN et de BG (Arts et Métiers).
328. Par le sommet A d'un triangle isocèle ABC inscrit dans un cercle 0, on mène une droite rencontrant la base BC en D et le cercle en E. Démontrer que le côté AB est moyen proportioimel entre AD et AE.
329. Dans un triangle rectangle isocèle ABC de base BG, on mène la médiane BD qui coupe en E le cercle circonscrit, et on abaisse la perpendi* eulaire EF sur AG. Démontrer que l'on a :
