AF = AE

336. Dans un triangle quelconque, la distance d'un sommet au point de concours des hauteurs est double de la distance du côté opposé au centre du cercle circonscrit.

337. Dans un triangle, le centre du cercle circonscrit, le point de rencontre des hauteurs et le point de rencontre des médianes sont en ligne droite.

338. Étant donne un rectangle ABCD dans lequel BC = a AB, on joint le point A au point E situé au quart de BC, et on mène la diagonale BD. Démontrer que le point de rencontre M des droites AE et BD appartient âu cercle décrit sur AD comme diamètre.

339. Soit ABC un triangle; 1 et V les centres des cercles inscrit et exinscrit dans l'angle A. Démontrer que l'on a :

AIxAl' = ABxAC.

340. Le produit des distances du pied d'une hauteur d'un triangle aux extrémités du côté correspondant est égal au produit de ses distances aux pieds des deux autres hauteurs.

341. Les diagonales AC, BD d'un quadrilatère inscrit ABCD se coupent en E. Démontrer la relation :

EA ABXAD

ec""cdxcb'

342. On considère deux tangentes AB, AC à un cercle 0, et la corde BC. Démontrer que si l'on prend un point M sur le cercle, on a, en(r«> les distances MP| MU) MR à la corde BC et aux deux tangentes, la relation :

Sp'=mqxmr.

343. D'un point M on mène une tangente MA à un cercle et une sécante IIBC. Démontrer que les segments MB et MC sont proportionnels aux carrés des cordes AB et AC.

344. La bissectrice AD de l'angle A d'un triangle ABC rencontrant le côté BG en D et le cercle circonscrit à ABC en E, démontrer la relation :

ÊB* = EAXED.

345. On mène la bissectrice AD de l'angle A d'un triangle ABC, et on trace le cercle passant par A et tangent au côté BC en D ; ce cercle rencontre les côtés AB et AC en E et F.

Démontrer que ËF est parallèle à AB, et qjiie l'on a :

aexac = afxab = âd'.

346. On considère le diamètre AD d'un cercle 0; ou joint le point A à uu point quelconque C du cercle et on prolonge AC d'une longueur GD=:AG. On joint BG et OD et on demande le lieu du point de rencontre M de ces deux droites quand le point G décrit le cercle.

347. On donne un ceivle et deux points P et Q. Par P, on mène une sécante qui coupe le cercle en A et B. Trouver le lieu du point de concours des méi lianes du triangle QAB quand AB tourne autour du p^int P.

348. On donne un cercle et dcdx points A et B dans son plan; on considère un point quelconque M du cercle, et on demande le lieu du point de rencontre des médianes du triangle MAB quand le point M décrit le cercle.

349. Dans. un cercle 0, on considère un diamètre fixe AB et le point I milieu de AO. On joint un point M du cercle au point 1, et on mène du centre la perpendiculaire à AM; elle coupe IM en P. Trouver le lieu de P quand M décrit le cercle.

350. Les sommets A et B d'un triangle sont fixes, et le côté AG a une longueur constante. Trouver le lieu géométrique du pied de la bissectrice de l'angle A.

351. On donne deux cercles et 0' tangents en N, et une tangente quelconque MT à 0', touchant ce cercle en M. Montrer que la droite MN rencontre la perpendiculaire OG abaissée du point ,0 sur NT en un point A du cercle 0. Si B est le point diamétralement opposé à A sur le cercle 0, démontrer que le quadrilatère BGMN est inscriptible.

352. Étant donnés trois points en ligne di*oite, on fait passer un cercle de rayon quelconque par deux de ces points et l'on mène par le troisième une tangente à ce cercle Quel est le lieu du point de contact?

353. Dans uu triangle ABC, trouver sur la base BG un point D, tel que 'on ait :

AD*=:BDXDG.

(Arts et Métiers.)

354. Gonstruirc un cercle passant par deux points et tangent à une droite donnée (Exercice 318).

355. Construire un cercle passant par un point donné, tangent à une droite donnée, et ayant son centre sur une autre droite donnée.

356. On donne un cercle et deux points A et P ; par A ou mène une sécante quelconque qui rencontre le cercle aux points B et G. Quel est le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle PBG . quand la sécante ABC tourne autour du point A?

357. Dans un triangle quelconque ABC, on trace les hauteurs ADetBE. Prouver la relation :