Vérifier la relation des sinus
sur un triangle rectangle dont les côtés ont 3o, 40, 5o, puis sur un triangle quelconque dont les côtés ont 40, 5o, 60.
375. Construire un triangle rectangle dont l'Iiypoténuse a 97 et un côté H5. Mesurer le troisième côté, les angles, puis vérifier le théorème de Pythagore, la relation des sinus, et la relation 6 = ctgB.
376. Calculer le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle exinscrit tangent à la base dans un triangle isocèle dont la base a 2 millimètres et dont l'un des angles a \o9.
377. Même question pour un triangle isocèle dont la hauteur a 100 mètres et l'angle au sommet tiO^.
378. Calculer le rayon du cercle exinscrit tangent à l'un des côtés égaux dans chacun des triangles isocèles définis aux exercices 376 et 377.
379. Dans un cercle de rayon R, on donne un point dont la distance au
centre est V- Mener par ce point la corde qui fasse avec la tangente à l'une
de ses extrémités le plus pelil angle aigu possible ; calculer la longueur de cette corde et la mesure de cet angle.
On observera qu'im angle aigu varie dans le même sens que son sinus.
3S0. Dans un cercle 0, on mône un diamètre COB sur lequel on marque le point A, tel que BA =z 5o mètres: B se trouve entre A et O. Les tangentes menées du point A au cercle font un angle de 24^. Calculer le rayon du cercle.
381. Un point A est à 100 millimètres du centre d'un cercle de 40 millimètres de rayon. Calculer, soit exactement, soit le mieux possible, la mrsurc que doit avoir l'angle OAB si l'on veut que la sécante AB détermine dans le cercle une corde de 40 millimètres. Calculer en outre la distance entre le centre et cette corde.
382. Deux cercles et 0' se coupent orthogonalement, c'est-à-dire que
leurs tan°^entes par l'un de leurs points communs  Tont un anprie droit; leurs rayons ont 83 millimètres ot i^n millimètres. Calculer la distance de leurs centres, et les angb's AOO' et AO'O.
Vérifier les résultats par une construction graphique.
353. Reprendre les cercle^ de l'exercice 382, et calculer la longueur de leur corde commune, ainsi que les angles qu'elle fait avec OA et avec O'A, et vérifier les résultats à l'aide d'une figure.
354. Dans un triangle ABC, rectangle en A, l'hypoténuse a 167 millimètres, un côté de l'angle droit a i32 millimètres. Calculer le rayon du cercle inscrit et les rayons des trois cercles exinscrits.
385. Dans un triangle ABC, on a BC = ioo millimètres, ABC = 5o®;
aCB = 36**. Calculer, au moyen de la relation des sinus, les distances entre le centre du cercle inscrit et chacun des sommets B et C ; calculer ensuite le rayon de ce cercle.
386. Un observateur en station sur un sol horizoutal se trouve à 5o mètres d'un mât vertical ; le rayon visuel relatif au sommet du mât et le rayon visuel horizontal font un angle de x8^. Quelle est la hauteur du mât, sachant que l'œil de l'observateur esl à i'",5o au-dessus du sol?
387. Soient D| et D, deux droites parallèles, A un point situé entre les deux, à 40 millimètres de l'une et à 60 millimètres de l'autre. Dans quelle direction faut-il mener une droite par le point A pour que le segment BAC limité sur cette droite entre les deux parallèles ait une longueur de a5o millimètres?
388. Un ingénieur fait le tracé d'un chemin de fer rectil igné pour lequel il faudra faire une tranchée dans une butte qui interrompt la ligne droite entre les points A et B. Il marque sur BA prolongée au delà de A un point C quelconque, trace sur le sol horizontal une droite CD qui passe à côté de la butte, en faisant l'angle ACD égal à 36^, prend la longueur CD égale à 3oo mètres, et enfin élève DE perpendiculaire à CD.
Quelle longueur doit-il donner à DE pour que le point E appartienne i
la droite CABEF, et quel angle DEF doit-il construire pour avoir en EF le prolongement de la ligne droite AB?
389. Sur un cercle de 100 millimètres de diamètre, tangent en A à une droite AP, on marque un point M dont la distance MP à h tangente est égale à 90 millimètres. Calculer la distance AP et l'angle que font les droites OM et A P.
390. Calculer les angles d'un triangle rectangle dont un côté de l'angle droit est double de l'autre.
391. Les rayons de deux cercles extérieurs ont 5o millimètres et 80 millimètres, et la distance de leurs centres ost 200 millimètres. Calculer la lonuueur d'une tangente commime extérieure, celle d'une tangente commune intérieure, et les angles que fait la ligne des centres avec ces tangentes et avec leurs rayons de contact.
Déduire de là le moyen de calculer la longueur d'une courroie, croisée ou non. servant à communiquer la rotation d'une poulie à une autre.
392. Dans le triangle ABC, l'angle A vaut 6o^ AB=:5o millimètres.
AG =r 80 millimètres. Calculer le c6té BC, les segments déterminés sur ce côté par la bissectrice de l'angle A, la longueur de cette liissectrice, les angles B et G, et les trois hauteurs.
393. Par un point A situé à 10 millimètres du centre d'un cercle de 5o millimètres dé rayon, on mène deux sécantes perpendiculaires BAC,
DAE. Calculer les côtés du quadrilatère BECD, sachant que l'angle OAD a 120^, et vérifier les résultats à l'aide d'une construction graphique.
394. Étant donnés deux cercles concentriques, de rayons 10 mètres et 8 mètres, calculer la longueur d'une corde détei-minée danâJe grand cercle par une tangente au petit.
396. Dans un triangle isocèle ABC, les angles B et G valent chacun 45 degrés, les côtés AB et AC ont chacun 70 mètres. Calculer la base et la hauteur de ce triangle.
396. Les côtés égaux d'un trapèze isocèle ont chacun 3o3 mètres; les bases ont respeclivement 738 et 548 mètres. Calculer les diagonales.
397. Dans un cercle de 5 mètres de rayon, on donne un arc dont la corde a 6 mètres de longueur. Calculer la longueur de la corde qui soustend l'arc double de l'arc donné.
398. Dans un cercle de ih mètres de rayon, une corde a pour longueur 18 mètres. Calculer les longueurs des cordes qui sous-tendent les moitiés des arcs sous-tendus par la première.
EXERCICES THÉORiaUES.
399. Étant donnés trois points A, B, G d'un cercle 0, on projette A en H sur BC et les points B et G en M et N sur le diamètre AOA'. Démontrer que l'on a :
AH*=AMXAÎ*.
400. Le triangle équilatéral ABC étant inscrit dans un cercle, on joint le milieu D de l'arc AC au point H, milieu du côté BC, vi on prolonge DU jusqu'au cercle en M.
Calculer DM et les segments DH et IIM en fonction du rayon R du cercle. (Examens des élèves mécaniciens de la marine.)
