Les* trois médianes

412. La projection du milieu d'un côté d'un triangle rectangle sur l'hypoténuse détermine sur cette ligne deux segments dont la différence des carrés est égale au carré du troisième côté.

413. Dans un triangle ABC, rectangle en A, on mène la hauteur AH; si l on désigne par r, r', r" les rayons des cercles inscrits dans les triangles ABC, ABH et ACH, démontrer que l'on a :

(Arts et Métiers.)

414. On considère deux rayons rectangulaires OA, OB d'un cercle et la bissectrice OF de l'angle AOB. Par un point quelconque C de Tare AB on abaisse la perpendiculaire CD sur OA; elle rencontre OF en E. Démontrer qu'on peut construire un triangle rectangle avec les trois droites OA, DC, DE.

415- Soit BC la base d'un triangle isocèle ABC et BD la hauteur; montrer que l'on a :

ÏÏC' = 2AC. DC.

416. Deux cercles de rayons donnes sont tangents extérieurement ; calculer la portion de tangente commune extérieure comprise entre les points de contact.

417. Deux cordes rectangulaires AB et CD d'un cercle se coupent en E; la somme des carrés des quatre segments EA, EB, EC, ED est constante, quel que soit le point E.

418. On donne deux cercles concentriques cl un point P sur l'un d'eux. On mène par le point P dans les deux cercles les cordes rectangulaires PA et PBC. Ces cordes tournant autour du point P, démontrer que :

PÂ'-fPP + PG* est une somme constante, et que la somme des carres des côtés du triangle ABC est aussi constante.

419. Un quadrilatère inscri|)tible ABCD est circonscrit à un cercle de rayon R. L'une AC de ses diagonales passe par le centre du cercle, et on sait que AO = aR. On demande de calculer les angles, les côt«'s et les diagonales du quadrilatère.

420. Dans un triangle isocèle ABC, on abaisse la hauteur CD sur l'un des C'Més égaux AB. Montrer que la somme des carrés des côtés du triangle est égale à

Bb' + 2DÂ* + 3CD*.

421. Étant donné un rectangle A6GD, si par un point P de la diagonale BD on mène sur AP une perpendiculaire qui rencontre BC en Q et CD en R, démontrer que l'on a :

PQ . PR = ÂP',

422. Si on prend un point quelconque M sur la base BC d'un triangle isocèle ABC, on a la relation :

ïb'--Âm'=mb.mc.

423. Étant donné un demi-cercle de diamètre AB, on décrit sur les rayons OA et OB comme diamètre deux demi-cercles, et on considère le cercle C tangent aux trois demi-cercles. Calculer :

I® Le rayon du cercle C.

a^ Les côtés du triangle formé par les points de contact.

424. Par un point quelconque P d'une corde fixe AB d'un cercle, on trace une corde arbitraire MN; en désignant par C le milieu de AB, démontrer que l'expression