CP*H-PM.PN
a une valeur constante si le point P est pris entre A et B. Quand le point P est extérieur au cercle, l'expression
CP« — PM.PN est constante.
425. Les perpendiculaires OL, OM, ON abaissées d'un même ymui Osur les trois cotés BC, CA, AB d'un triangle déterminent six segments tels que la somme des carrés de trois d'entre eux AM, BN, CL, non consécutifs, est égale à la somme des carrés des trois autres.
426. On considère un losange ABCD, et sur la diagonale BD on prend un point M. Démontrer la relation :
mb.md = mI' — ÂB*.
427. On inscrit dans un demi-cercle de diamètre BC un triangle isocèle BAC ; on trace les bissectrices des angles B et C; elles rencontrent le cercle en M et N et elles se coupent en 0', centre du cercle inscrit Si R et r sont les rayons des cercles circonscrit et inscrit à BAC, démontrer que :
i® La droite MN passe par les points de contact T et Y du cercle inscrit avec les côtés AB et AC.
2» AT = AV = r;
4» 0'BxO'M = 2Rr.
[Examens des élèves mécaniciens de la marine,)
428. On donne un carré ABCD de 6<"» de côté. Sur le côté BC comme diamètre on docrit un cercle 0.
i** Tracer avec la règle et le compas un cercle 0' tangent au côté AD en r> et tangent au cercle 0.
2* Calculer le ravon CD de ce cercle.
429. Si l'on mène les hauteurs AA', BB', CC d'un triangle ABC, qui se coupent au point H, on a les relations :
Âlî* -f BC' = BH* + ÂC'= CÎÎ' H-ÂB*.
430. Démontrer que la valeur commune des quotients •: — r» -t—t;» -:— k
^ smA smB smC
dans un triangle quelconque est égale au diamètre du cercle circonscrit.
EXERGICÇS PRATiaUl^S.
431. Comparer le côté du (riangle équilatéral mscrit à un cercle et le côlé du triangle équilatéral circonscrit au même cercle.
432. Étudier la méthode suivante pour construire un hexagone régulier à main levée : tracer un diamètre AOB et mener des perpendiculaires aux milieux de OA et de OB. Si on n'en construit qu'une, on a un triangle équilatéral.
Si on fait la même construction sur deux diamètres rectangulaires, on a le dodécagone régulier. Joindre ses sommets de 5 en 5 pour avoir le dodécagone régulier étoile, tracer ses 6 diamètres dont chacun passera par 4 intersections de cotés.
Grouper convenablement les cAtés pour avoir, soit 3 carrés enchevêtrés formant autour du centre un contour étoile, soit 4 triangles équilatéraux dessinant également une autre étoile régulière.
433. En dessinant une rosace hexagonale, vérifier que l'hexagone régulier a son côté égal au rayon; du point quelconque A sur le cercle, avec le rayon même du cercle, tr«cer un arc rencontrant le cercle en B et F; de B avec le même rayon, arc AC, etc. L'arc de centre E doit passer juste en F; après quoi l'arc F passe évidemment en E et en A.
434. Constituer un pavage non régulier avec des hexagones réguliers et des triangles équilatéraux; avec des octogones réguliers et des carrés; avec des carrés et des losanges ayant un angle de 6(K*.
435. Quel est le rayon d'un cercle dans lequel le côté du carré inscrit est égal à 1"?
436. Quelle est la circonférence d'un cercle dont le diamètre est de 7", 45?
437. Quel doit être le rayon d'une piste circulaire pour que la circonférence soit égale à i*"?
438. Quel est le rayon d'une tour circulaire qui a 70"»,95 de circonférence?
439. La longueur du mètre étant la dix-millionième partie du quart du
méridien terrestre, et en supposant ce méridien exactement circnlairc, quelle est la longueur du rayon terrestre?
440. En pariant de la définition du mètre et en supposant le méridien exactement circulaire, quelle est la longueur de l'arc du méridien compris entre Pans et l'équateur ierreqjlre, la latitude de Paris étant supposée égale à 48<>5o'?
441. Le mille marin n'est autre chose que la minute terrestre. Quelle est en mètres la valeur du mille marin?
442. Quelle est la longueur d'un arc de 35® 40' sur un cercle de 10™ de rayon?
443. Dans un cercle, un arc de 8® 17' a 3", 80 de longueur. Quel est le rayon du cercle?
444. Un arc de lo*" de rayon a une longueur de S^; quel est le nombre de degrés, minutes et secondes de cet arc?
445. Trouver le nombre de degrés de l'arc dont la lon<rueur est égale au rayon. Donner en grades la mesure de ce même arc.
446 Dans un cercle de 100 millimètres de rayon, quelle est la longueur d'un arc de 300.8484, et quelle est en grades la mesure d'un arc ayant 3o millimètres de longueur?
447. Un arc de iSo^ ayant 60 millimètres de longueur, quel est le rayon de cet arc?
448. Calculer le rayon d'un cercle dans lequel la ditlérence entre la demi-circonférence et le diamètre est égale à iU^^îIÔ.
EXERCICES THÉORiaUES.
449. En prolongeant de deux en deux les côtés d'un hexagone régulier, on obtient un triangle équilatéral.
450. On construit un carré extérieur sur chaque côté d'un hexagone régulier, et on joint les sommets consécutifs des carrés voisins. Démontrer quH le dodécagone obtenu est régulier,
451. Le périmètre d'un triangle équilatéral circonscrit est le double de celui du triangle équilatéral inscrit.
452. On donne deux cercles sécanis de centres et 0', tels que la distance des centres 00' soit double du rayon du cercle 0, et que les rayons OA et O'A aboutissanl à l'un des points communs soient rectangulaires. Démon (rer que la corde commune à ces deux cercles est le côté de l'hexagone insciit . dans l'un et le côié du triangle équilatéral inscrit dans l'autre.
453. L'apothème de l'hexagone régulier inscrit est égîàl à la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.
454. Dans un cercle de r«yon R, on inscrit un triangle équilatéral ABC et on joint le milieu D de l'arc AC au milieu F du côté BC. La droite DF rencontre le cercle en G. Calculer DF et FG.
455. ÉUut donné un triangle équilatéral ABC de côlé a, on élève eu B la perpendiculaire à fiC, sur laquelle on prend BD = AB. Calculer les angles du triangle ABD et la longueur du côté AD.
456. Étant donné un triangle équilatéral ABC de côté a, on décrit un arc de cercle BDC tangent aux côtés AB et AC en B et C, et un autre arc de cercle BFC tangent en B et C aux bissectrices des angles B et C.
I* Calculer les rayons de ces ares de cercle ; a* Évaluer en degrés les arcs BDC et BFC.
