Corollaire II

— Deux triangles de même base et dont les sommets opposés à Is base sont sur une parallèle à cette base sont équivalents.

En effet, les deux triangles ACB et ADB (fig. aag), ayant même base AB et tels que CD soit parallèle à'AB, ont

ru ^ c

Fi(r. 229. — Triangles équivalents.

AIRES DES POLYGONES

aussi même hauteur, qui est la distance des deux parallèles CD et AB.

370. — Corollaire III. — L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des deux c^tés de Vangle droit.

Car, si l'on prend Tun des côtés pour base, l'autre est la hauteur.

371, — Aire du trapèze. — L'aire d'un trapèze est égale au produit de la hauteur par la demi- D somme des bases.

En effet, la diagonale AC partage le trapèze ABCD (fig. 23o) en deux triangles ABC et ACD ayant même hauteur CH que le trapèze et ayant respectivement pour bases les bases AB et CD du trapèze On a donc:

aire ABCD = aiVe ABC + aire ADC

= iAB X CH + icDxCH a a

= -(AB + CD)xCH.

Fiç. 23o. — Mesure du trapèze.

372. — Remarque. — La droite FE (fîg. a3o) qui joint les milieux des côtés non parallèles du trapèze est ce qu'on appelle quelquefois la base moyenne. Il est aisé de montrer qu'elle est égale à la demi-somme des bases :

EF = -(AB-f CD).

Par suite

L'aire du trapèze est égale au produit de la base moyenne par la hauteur.

Ceci se voit d'ailleurs aisément d'une autre manière qui montre comment on peut découper le trapèze en morceaux avec lesquels on peut former un rectangle équivalent.

En effet, si de F et E (iig. a3i) on abaisse les perpendiculaires FK et El

P C M sur AB, et si Ton

^ "'■"'''"' -'■""■-■^^-^^^p|b1 fait tourner de iSo»

-.-.— „..^^£\ autour de leurs

3b^ sommets Fet E les • il triangles AFK et

^ ^ , ' ^ BEI pour les

Fig. i5i. — transformation d'un trapèze en un «mpnpr Pn FPn pf rectangle équivalent. amener en r fu ei

CE M, on forme le rectangle KPMI, équivalent au trapèze, et qui a pour base FE et pour hauteur MI.

373. — Aire d'un polygone quelconque. — Pour évaluer Taire d'un polygone quelconque, on le décompose en triangles ou en trapèzes et on évalue séparément l'aire de chacun des morceaux. Il ne reste plus qu'à faire la somme des aires ainsi calculées.

On peut d'ailleurs construire un triangle équivalent à un polygone donné. Puis, en construisant (n* 367) un rectangle équivalent au triangle, on obtient ainsi un rectangle équivalent au polygone.

374. — Problème. — Construire un triangle équivalent à un polygone donné.

Soit ABCDE le polygone (fig. a3a). D'un sommet D menons les diagonales DA et DB qui partagent la surface du polygone en trois triangles. Par E menons une parallèle EF à AD qui coupe le prolongement de AB en F. Les triangles AFD et AED ayant même base AD et leurs sommets E et F sur une parallèle à cette base sont équiva-

AIKES DES POLYGONES.

lents. Menons, de même, CK parallèle à DB qui coupe AB en K. Les triangles BDC et BDK sont également équivalents. Le triangle total FDK est donc équivalent au polygone ABCDE comme composé des trois triangles FAD, ABD et BDK respectivement équivalents aux trois triangles EAD, ABD et BDC qui composent le polygone.

. 375. — Problème. —

Construire un carré équivalent à un polygone donné.

Fig. alî;. — Tniiisiromiiilion d'im iJt»h{^'one p n un Ui^ingle iVjui^iiJenU*

1" On construit un triangle équivalent à ce polygone (n' 374).

a" On construit un rectangle équivalent au triangle (n* 367).

3" Soient a et 6 les deux dimen^^ioiis liu rpctaugle ainsi trouvé. Désignons par x le côté Un carré cherché, I/aire du carré est a?xa?^a?«, celle du iTCtangle est att. On doit donc avoir :

Cette égalité prouve que le cOlc a- tla cai'ré cherché est moyenne géométrique entre les deux dimensions a et 6 du rectangle. Nous savons donc le construire (n" 310).

376. — Méthode des trapèzes. — En pratique, sur le terrain, on n'emploie pas des moyens compliqués comme les précédents.

Soit (Vig. 233) un polygone AUCDliFG. Tracions uiiu

Kit,M3!.

diagonale AE (de préférence la plus longue) et projetons les autres sommets B,C,D, F et G en h^c,d,f ei g sur cette diagonale.

Nous décomposons ainsi Taire du polygone en triangles rectangles et trapèzes rectangles dont il est facile d'avoir les aires :

aire AB6:i^- A6xB6,

aire BCc6 = - (B6 + Ce) X 6c,

et ainsi de suite.

La somme donne Taire du polygone. C'est là le procédé usité dans l'arpentage.

— Aires des polyg^ones réguliers et dlu cercle.