OH

379. — Aire d'un polygone régulier. — L'aire dun polygone régulier est égale au produit de son périmètre par la moitié de son apothème.

Soit ABCDEF (fig. 234) un polygone régulier. Joignons le centre aux sommets. Nous décomposons ainsi le polygone en autant de triangles isocèles OAB, OBC, OCD, etc., qu'il y a de côtés. Ces triangles isocèles sont d'ailleurs tous égaux, car on peut faire coïncider deux quelconques d'entre eux par rotation autour de 0.

L'aire du polygone est donc égale à autant de fois l'aire du triangle OAB qu'il y a de côtés. Soient n le nombre des côtés, S l'aire du polygone, a la longueur du côté AB du polygone, h l'apothème.

On a :

S = H X aire AOB = }ix — >

ce qui s'écrit :

(i) S = -xna.

Or, na est le périmètre P du polygone. La formule (i) s'écrit donc :

380. — Rkmaroue. — Nous avons calculé lapothème h (n'* 378) et nous avons trouvé

h On en conclut :

204 ÉLÊMKNTS DE GÉOMÉTRIE.