AD

.av^3.

On en conclut

382. — Aire de Thexagone régulier. — Soit ABCDEF (iig. 219) un hexagone régulier de côté AB = a. Son périmètre est :

Son apothème est.

car le rayon R est égal à a (n* 349).

On en conclut (n" 379) que l'aire S de l'hexagone est :

383. — Aire du cercle. — Vaire d'un cercle est égale au *iroduit de sa circonférence par la moitié de son rayon.

ous admettrons celte proposition sans démonslralion.

AlliES DES POLYGONES UEGULIERS ET DU CEHCLE. 265

Un peut avoir une idée de son exactitude en remaix|uant que, si on inscrit dans le cercle un polygone régulier d'un très grand nombre de cotés, de façon que chacun de ces côtés soit très petit, le périmètre P du polygone se confondra sensiblement avec la circonférence du cercle, Tipothème /* sera sensiblement égal au rayon, et l'aire du polygone qui est égale au produit de P (circonférence) par la moitié de Tapothème (rayon) est très sensiblement égale à Taire du cercle.

On pourra, par exemple, construire (n* 352) le polygone régulier de 96 côtés (car 96 = 6X2X1X2X2) inscrit dans un cercle de 5 centimètres de rayon, et on constatera qu*il est presque impossible, à Toeil nu, de distinguer le polygone d'avec le cercle circonscrit.

R étant le rayon du cercle, sa circonférence est aitR. Son aire est donc *.

S = 2irRx?

OU, en simplifîant,

S = icR«.

L'aire d'un cercle est égale au produit du carré de son rayon par le nombre r.,.

Exemple. — Calculer Vaire d^un cercle de 5 cenUmèires de rayon,

(Ictte aire est :

384. — Aire du secteur circulaire. — On appelle secienr circulaire ia surface compriseentre un arc de cercle et les deux rayons qui aboutissent à ses extrémités (fig. 236).

Deux secleurs circulaires d'un même cercle et de môme ouverture angulaire sont évidemment superposa blés par rotation autour du centre, par suite égaux.

,, - • 1 • j i Fig. 236. — bccteur circulaire.

Un secteur circulaire dont l'ouverture d*angle est de 3^», par exemple, se compose donc de 32 secteurs circulaires égaux de 1*^ d'ouverture chacun.

L*aire du cercle entier comprend 36o secteurs circulaires égaux de i*. L*aire du secteur de i® est donc la 36o' partie de Taire du cercle :

aire du secteur de i®= :^ ioo

L'aire dun secteur dun nombre quelconque de degrés s'obtient en muUiplant l'aire du secteur de i^ par le nonibi*e des degrés douvei^ture du secteur.

Ainsi l'aire du secteur de 3i® sera

3ïtcR* ~3«o

385. — Aire du segment de cercle. ~ On appelle segment de eerele la surface comprise entre un arc de cercle et sa corde.

On voit immédiatement que l'aire d'un segment de cercle AMB (fig. 23;) est la différence entre Taire du secteur circulaire OAMB et du triangle OAB.

Fig. 237.

Comparaison des aires.

386. — Théorème. — Le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré de leur rapport de similitude.

Soient en effet (fig. 338) deux triangles semblables ABC, ABC et AU, A'H' leurs hauteurs. On a :

alreA'B'C=^'^B'C'xA'iV, aire ABC = -BCxAH.

D'où, en divisant membre à membre,

aiVe A^B^C^ B^C AIT ^'^ aire ABvJ "~ BC ^ AH '