BC A'H'

'BC~ÂH-"^-

L'égalité (i) devient alors :

atVe A^B^C aire ABC

k.k = kK

387. — Théorème. — Le rapport des aires de deux polygones semblables quelconques est égal au carré de leur rapport de similitude.

Soient ABCDEF, A'B'C'D'ET' {iig. 239) deux polygones semblables dans le rapport de similitude k.

Soient S et S' leurs aires.

Du sommet A menons les diagonales AC, AD, AE qui

Fig. 239.

partagent le polygone ABCDEF en quatre triangles d'aires T., T„ T3, T,.

Faisons de même dans le second polygone en menant

tiOX ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.

du sommet A', homologue de A^ les diagonales A'C , AD', A'E' qui partagent le polygone A'B'C'D'EF en quatre triangles respectivement semblables aux précédents dans le rapport /r, puisque, les deux figures pouvant être amenées à être homothétiques dans le rapport k, toutes les parties homologues sont semblables dans le rapport k. Soient Tj, T'j, T,, T\ les aires de ces quatre triangles.

D'après le théorème précédent on a :

ou :

T\=.k^T^, Ajoutons ces égalités membres à membres et il vient :

T\ + T\ + T, + T\=k^ (Tj + T, + T3 + T4).

Or, on a évidemment :

T. + T, + T3 + T4=S, et, par suile,

ou :

338. — Grénéralisation. — Le rapport des aires de deux figures planes semblables est égal au carré de leur rapport de similitude.

Celte proposition peut encore être vérifiée pour les cercles. Deux cercles quelconques sont semblables, et leur nipport de simi- 'itude est celui de leurs ravons.