S~ R8""VR

Le rapport des aires de deux cercles est le carré du rapport des rayons,

389. — Remarciae. — Le fait que les unités de surface du système décimal vont de loo en loo n'est qu'un cas particulier de ce qui précède.

En effet, le mètre carré et le décimètre carré sont deux polygones semblables dans le rapport de similitude lo. Le rapport de Jeurs aires est donc io*= loo.

3^0. — Construction. — Construire un carré qui soit à un carré donné dans un rapport donné.

Soit a le côté du carré donné et a? le côté d'un carré inconnu, tel que le rapport de son aire à celle du premier soit égal au

ïïi rapport — de deux longueurs

données.

Pour traiter la question, nous remarquerons que : Le rapport des carrés des deux cotés de V angle droit dun

triangle rectangle est égal au rapport de leurs projections sur

Chypoténuse,

Car dans le triangle rectangle ABC {Vig. 2^0)^ dont AD est la hauteur, on a (n* 307) :

ÂB'=BDxBC, AC*=CDxBC.

Fig. i4i

D'où, en divisant membre à membre :

ÂF BD

Cela étant, sur une droite indéfinie (fig. 241), portons

bout à bout deux longueurs.

AB=m, BC = n.

Sur AC comme diamètre, décrivons un demi-cercle et élevons en B la perpendiculaire à AC qui coupe le demi-cercle en D.

Joignons AD et CD, et, sur CD, à partir de D prenons une longueur DE=a. EnOn, par E, menons la parallèle EX à AC qui coupe AD en X.

DX est le côté cherché x.

En effet, EX et AC étant parallèles, on a :

DX__AD DE ""CD ou

(gAD, â~"CD' et, en élevant au carré,

a«"cD'*

Or, dans le triangle rectangle ACD, on a, d'après ce qui précède :

ÂD* AB m CD'"~BC-"n

On en conclut

CONPAKAISON DES AlUES.

391. — Théorème de Psrthagore. — Le carré constrait sur r hypoténuse d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux côtés de Vangle droit.

Nous avions fait (n* 307) une démonstration numMqve de cette belle proposition. Nous allons maintenant la montrer géométr i queraent^ sans calcul.

Soit ABC le trianglerectangle en A et BCED, ACFH, BAIK, les carrés construits sur ses trois côtés (flg. li'i). Joignons IH et construisons le triangle DEM symétrique du triangle ABC par rapport au centre du carré BCED.

Fig. a4>. — Théorème de Pythagore.

L'hexagone BCFHIK se compose de deux triangles égaux à ABC et des deux carrés ACFH et ABKI.

L'hexagone ACEMDB se compose de deux triangles égaux à ABC et du carré BCED.

Le théorème sera donc démontré si Ton prouve que ces deux hexagones sont équivalents.

Or, ceci est évident, car la diagonale KAF partage le premier hexagone en deux quadrilatères égaux comme symétriques par rapporta KF, et la diagonale AM partage le second hexagone en deux quadrilatères égaux comme

symétriques par rapport a O. D'ailleurs, les drux quadrilatères ACEM et KBCF sont égaux, car ils sont superposahles par une rotation de qqo autour de C.

Les deux hexagones sont donc équivalents comme ayant des aires doubles de celles de ces deux quadrilatères égaux.

EXERCICES PRATiaUES

457. Les dimensions d'un rectangle sont 4 mètres et 6 mètres. Partager ce rectangle en 8 parties égales, chaque partie étant un polygone non cativexe n'ayant que des angles droits» les côtés devant avoir les uns 2 mètres, les autres 1 mètre.

458. Construire un triangle dont les côtés ont 89, 80, 89; vérifier qu'il est rectangle, et le transformer en un triangle isocèle équivalent, ayant pour base le côté moyen. Évaluer l'aire de la partie commune aux deux triangles.

459. Diviser en 5 parties équivalentes le triangle construit dans l'exercice précédent, au moyen de droites parlant du sommet de l'angle droit.

460. Marquer sur une diagonale d'un carré le point tel, qu'en le joignant à 3 sommets on ait 3 droites divisant le carre en parties équivalentes.

461. Construire Tin triangle ABC ayant A.B = 48, BC = 24, angle B = 3oO. Prendre sur AB entre A et B le point D tel que AD = 36. Déterminer sur AC le point E|X)ur que le triangle EAD soit la moitié de ABC.

462. Deux champs, compris entre les chemins non parallèles AB et CD, sont séparés par la ligne droite EF. Soit I un point quelconque de AB. Remplacer la séparation rcctiligne EF par une autre parlant de I pour que les superficies des deux champs ne soient pas changées. (Mener par le point E une parallèle à IF.)