UKTERMIXATION ET INTERSECTION OE I)I\01TES ET PI,ANS

396. — Semi-plans. — Une droite indéfînie située dans un plan illimité parlage ce plan en deux parties que l'on nomme sêmi-plans.

Ainsi h\ droite D partage le plan P (fig. 245) en deux semi-plans

V et r.

Deux semi- plans formant ensemble un plan illimité sont dits en prolongement Cun de Vautre. On peut rabattre l'un de ces deux semi-plans sur l'autre par rotation autour de la droite qui les sépare. Fig. 245. — Semi-planîi.

Ainsi (fîg. a45), en faisant tourner le plan 1*" autour de D comme charnière, de même qu'on fait tourner une page d*un livre, on peut le rabattre sur 1^, c'est-îi-dire, le faire coïncider avec le semi-plan F.

397. — Détermination du plan. — II est clair que par une droite D on peut toujours faire passer au moins un plan, car il suffit d'amener un plan à contenir deux points de la droite.

Il y a d'ailleurs une infinité de plans passant par D, car dès qu'on en a un, il suffit de le faire tourner autour de D pour en avoir d'autres.

Soient D une droite et P un plan indéfini passant j)ar cette droite {ûg. 246). Soit A un point quelconque de l'es pace non situé sur la droite D. Si l'on fait tourner le plan P autour de D comme axe, les deux semi-plans P' et P" balaient tout l'espace et il arrivera un moment où l'un ou l'autre de ces deux semi-plans contiendra le point A.

A ce moment, le plan P contiendra à la fois le point A et la droite D.

11 y a deux manières de faire passer le plan P par A : soit en amenant le semi-plan P", soit en amenant le semiplan P' à contenir A. Mais dans les deux cas on obtient le même plan indéfini passant par A et D. En résumé :

Par une droite et un point non situé sur cette droite passe un plan et ub «eut.

On dit encore que la A^ droite et le point déterminent

/^\ un plan.

■' ' * ^^ Soient A, B,C, trois points

non en ligne droite. Tout plan contenant les points B et C contient tout entière la droite D(fig. 246) qui joint ces deux points (n** 393). Parsuite, tout plan passant par A, B et C passe par la droite D et le point A; et réciproquement tout plan passant par

Flg. i46. — I>étprmi nation d'un plan. D et A contient les trois

points A, B, G.

Par trois points non en ligne droite passe un plan et ub »enl.

Soient D et D'(fîg. Î147) deux droites qui se coupent en un point O. Prenons sur D' un point A distinct de 0. Tout plan passant par D et le point A, contiendra D', car il contiendra les deux points A et de cette droite.

Par deux droites qui se coupent passe un plan et ub seul.

En résumé :

Un plan est déterminé :

Soit par une droite et un point non situé sur elle; Soit par trois points non en ligne droite; Soit par deux droites qui se coupent.

398. — Génération du plan. — Soient D une droite (Vig. î»4^) et A un point non situé sur elle. Nous savons qu'il