Position relative de deux plans. — De ce qui

précède il résulte que deux plans peuvent avoir les trois positions relatives suivantes :

V Les deux plans ont au moins trois points communs non en ligne droite : ils coïncident,

2^ Les deux plans se coupent suivant une droite : ils sont sécants.

3^ Les deux plans n'ont aucun point commun.

§ !2. — Translations. Droites et plans parallèles.

405. — Translation rectiligne. — Nous avons déjà défini en géométrie plane (n" 42) le mouvement de translalioii rectiligne. Cette notion peut s'étendre à Vespace.

Considérons un plan lixe P, appelé plan de glissetnent, contenant une droite lixe D, appelée glissière fixe. Soit p un plan mobile contenant une droite d, appelée glissièi^ mobile. Plaçons le plan p sur le plan P de façon que la droite d coïncide avec la droite D. Nous savons que si l'on fait glisser le plan mobilep sur le plan fixe P de façon que la glissière mobile d glisse sur la glissière fixe D, le plan p est animé d'un mouvement de translation rectiligne.

Si maintenant on imagine une figure de Tespace, liée invariablement au plan p et entraînée avec lui, cette figure sera également animée d'un mouvement de translation rectiligne.

Exemple I. — Sur une planchette P (fig. 2 5 a) maintenons fixe une règle plate le long de laquelle nous faisons glisser une équerrc p. In

THANSLATIONS. DHOlTES tJ PLANS rAHALLÉLES.

objet quelconque placé sur Téquerre sera enlrainé avec elle et sera, par suite, animé aun mouvement de translation rectiligue.

ExEMPiË \L — Le mouvement du tiroir est un des exemples les plus simples d'un mouvement de tntnslation rectiligne.

Le fond du tiroir est le plan mobile p qui glisse sur un plan fixe P.

Le tiroir tout entier, tous les objets qu'il contient, sont entraînés avec le fond p et sont animés d'un mouvement de translation.

ExbmpleIU.— Un train qui se meut dans une partie de la voie ferrée où les rails sont bien rectilignes est animé d'un mouvement de translation (abstraction faite du mouvement de rotation des roues).

406. — Postulat de Méray. — Deux translations rectilignes successives peuvent être remplacées par une seule.

Nous avons déjà énoncé et longuement expliqué ce postulai en géométrie plane (n" 43).

Fig. i5a. — Translation rectiligne.

4Q7 — Principe. — Dans toute translation rectiligne: V La trajectoire d'un point mobile est un segment de droite et cette droite est une glissière.

2^ Tout plan passant par une glissière est un plan de glissement,

11 faut bien se pénétrer des diverses circonstances énoncées ci-dessus pour avoir une idée bien nette de ce que c'est qu'un mouvement de translation cUins son ensemble.

Ainsi, si nous reprenons l'Exemple 1, plusbaut, un point M (fig. 1S2) d'un objet, placé sur l'équerre, décrit dans l'espace une droite. Tous les points M, R, S, N, etc. de l'ensemble mobile décrivent des droites MM', RR', SS', NN', etc. Ces droites sont des glissières, c'est-à-dire qu'elles glissent sur elles-mêmes dans le mouvement de translation.

Dans le mouvement du tiroir, les quatre arêtes longitudinales du

tiit)ir sonl quatre glissières, les quatre faces du tiroir sont quatre plans de glissement.

408. — En résumé, dans un mouvement de translation rectiligne :

I* H jf a une infinité de glissières.

Par tout point passe une glissière qui est la trajectoire de ce point.

a* Il y a une infinité de plans de glissement.

Tout plan passant par une glissière est un plan de glissement, c'est-à-dire glisse sur lui-même.

Par une glissière passe une infinité de plans de glissement.

Un mouvement de translation rectiligne est parfaitement défini dès qu'on connaît deux points homologues A et A'. La glissière est la droite AA' et un plan quelconque passant par AA' est un plan de glissement.

409. —Droites parallèles. — Définition. — Deux droite^ de Vespace sont dites fMirallèles lorsque l'une se déduit de Vautre par une translation rectiligne,

410. — Théorème. — Deux droites parallèles qui ont un point commun coïncident*.

* Soient en effet D et D' deux droites parallèles (fig. iSI) ay;inl un point commun Â. D' se déduit cTe D par

D' A! ""® translation. Celle translat'on trans-

Q '/\ ' porte le point A de D en un point A.' de

D'. AA' est donc une glissière. Or, A et

Fig. *53. A' étant tous deux sur D', cela revient

à dire que D' est une dissière, qui glisse

sur elle-mcme dans la translation; donc elle coïncide avec D.

411. — Théorème. — Deux droites parallèles distinctes D et D' sont dans un même plan et ne se rencontrent pas.

Il est d'abord évident qu'elles ne se rencontrent pas, car

1- Cette déinonstratioii est celle du princi|)e du n* 49. On pourra dans une première lecture la passer ainsi que toutes celles marquées d'une asléi4sque dans la suite.

TUANSLATIONS. DROITES ET PLANS PAHALLÈLES. 289

sans cela elles coïncideraient en vertu du théorème précédent.

Soit alors A' (fig. a54) le point de D' où vient se placer le point A de D après la translation qui amène D en D'. La droite AA' est une glissière.

Donc le plan P passant par Fig. a5i.

D et AA' est un plan de glissement et par suite, la droite D, dans la translation, rcsle dans ce plan qui contient donc D'.

412. — Théorème. — Deux droites parallèles à une troi'sième sont parallèles entre elles.

En effet, dire que les droi- — — — —

les D' et D" (fig. ^55) sont pa-

rallèlcs à D, c'est dire qu'il D'

existe une translation qui q^ ^

amène D' en D, puis une au- — ^— — ^— — — - Ire qui amène D en D". Ces ^'^s- '''' " ^'^''^^ fnraiièios. deux translations peuvent

être remplacées par une seule qui amène D' en D" (n"* 406); ces deux droites sont donc parallèles.