Théorème. — Par tout point de l'espace on peut

mener une parallèle à une droite donnée D et on ne peut en mener gu'nne.

Soit, en effet, A un point de D (fig. î»56). La translation de glissière AO, qui amène A en O, amène D en D', parallèle passant par 0.

Cette droite D' est d'ailleurs la seule parallèle à D Fig. 256.

passant par 0, car toute autre parallèle à D passant par sera aussi parallèle à D'

BoDRLKT. — Éléments de gf^om. 19

21H) ÉLÉMENTS ]»Ë GÉOHÉTUIE.

et par suite coïncidera avec D', puisqu'elle la rencontre en (n« 410).

AU. — Remarque. — 11 est bon de remarquer ici qu'il y a une infinité de translations qui transportent D en D', car on peut prendre abitrairement A sur D.

Il y a donc une infinité de glissières telles que AO.

Mais toutes ces translations ne fournissent q\ïune seule parallèle D' à D.

415. — Principe. — Dans une translation rectiligne toutes les glissières sont parallèles entre elles.

Par exemple dans le mouvement de translation d'une équerre sur une planche (fig. i5a) les trajectoires MM', RR\ SS', iNN',elc...,des divers i)o.nts entraînés avec Féquerre, sont des jilissières et sont parallèles à la glissière D le long de laquelle glisse Féquerre.

Dans un tiroir, les quatre arêtes du tiroir sont quatre glissières parallèles.

416. — Corollaire. — Deux glissières quelconques sont dans un même plan et ce plan est un plan de glissement.

Ainsi (fig. u5a) les deux droites parallèles MM' et RR' sont dans un même plan et ce plan glisse sur lui-même dans la translation.

Dans un tiroir, les quatre faces du tiroir sont des plans de glissement contenant chacun deux glissières.

417. — Réciproque. — Lorsque plusieurs droites sont parallèles j dans toute translation jfour laquelle Vune d'elles est glissière j les autres le sont aussi.

418. — Théorème. — Dans une translation rectiligne tous les points de la figure mobile décrivent des segments rectiligneSy égaux, parallèles et de même sens.

Cette proposition a été démontrée en géométrie plane (n''* 60 à t2).

419. — Positions relatives de deux droites. — Étant données deux droites dans l'espace il peut arriver que :

1* Elles soient dans un même plan. Dans ce cas : ou bien elles se coupent, ou bien elles ne se rencontrent pas,

TRANSLATIONS. DROITES ET PLANS PARALLÈLES. 2îM

et alors, en vertu de la réciproque au ii* 411, détiiuritréc en géométrie plane (n" 55), elles sont parallèles.

•j"* Elles ne soient pas dans un même plan; dans ce eus elles ne peuvent pas se rencontrer, car si elles avaiejiL un point commun, elles détermineraient un plan (|ul les contiendrait (n*» 397).

En résumé :

Deux droites de V espace peuvent :

!• Coïncider, lorsqu'elles ont âu moins deux points communs;

2k» Être sécanUM, lorsqu'elles oui un point commun. Elles déterminent alors un plan;

y Être parallèles, lorsqu'elles sont dans an même plan et ne se rencontrent pas ;

4» Ke pas être dans un même plan ; dans ce cas elles ne sont pas parallèles et ne se rencontrent pas.

Par exemple si nous considérons la boile de la figure 257, p les deux droites AB et AC sont sécantes, elles sont dans le plan ABDC.

Les deux droites AC et BD sont parallèLs ; elles sont dans le même plan ABDC.

Les deux droites AC et EF ne sont pas dans un même plan ; elles ne se rencontrent pas, si loin qu'on les prolonge.

Fifi;. 1&7.

420. — Plans parallèles. — Définition. - Deux plans sont dits parallèles lorsque Vun se déduit de Vautre par une translation rectiligne,

421 . — Théorème . — Deux plans parallèles qui ontunp oin t commun coïncident,

♦Soient P et I*' deux plans parallèles ayant un point conunun A (fig. a58). F se déduit de P par une translation. Cette translation transporte le point A de P en un certain point A' de F. A A' est donc une glissière. Or, A et A' étant tous dcu\ i\\\\\s V\ le phin I'' iM n\\

{flan de giissementf puis(ju'ii contient la glissière A.V. 11 glisse sur ui-méme dans la translation, donc il coincide avec I*.

422. — Théorème. — Deux plans parallèles distincts n'ont aucun point commun .

Car s'ils en avaient un ils coïncideraient.

Théorème. — Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux.

Dire, en effet, que les plans P' et P" {Vig. aSg) sont parallèles au plan P, c'est dire qu'il existe une translation qui amène P' en P, puis une autre qui amène P en P". Ces deux translations peuvent être remplacées par une seule qui amène F en P". Ces deux aSg. — Plans parallèles. plans sont donc parallèles.

424. — Théorème. — Par tout point de l'espace on peut mener un plan parallèle à un plan donné P, et un seul.

Soit A un point de P (fig. a6o). La translation de glissière AO, qui amène A en 0, amène évidemment le plan P eu une position P' parallèle à P et passant par 0.

Ce plan P' est d'ailleurs le seul qui convienne, car tout plan parallèle à P et passant par est aussi parallèle à P' et par suite coïncide avec lui, puisqu'il le rencontre en 0.

425. — Théorème. — Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite qui rencontre Fun rencontre Vautre.

Fig. 260.