TRANSLATIONS. DROITES ET PLANS PARALLÈLES

qui amène P à passer par D; donc D est parallèle à I'.

438. — Théorème. — Psir tout point de Vespace, on peut mener une infinité de droites

parallèles à un plan P.

Le lieu géométrique de ces droites est le plan P' parallèle à P passant par 0.

Car toute droite passant par (fig. Î71) et située dans P' est (n" 430) parallèle à P. Inversement toute droite parallèle à P passant par est aussi parallèle à F el, par suite, est située dans P' puisqu'elle y a un point 0.

439. — Théorème. — Toute droite qui ne rencontre pas un plan est parallèle à ce plan.

Soit D une droite qui ne coupe pas le plan P (fig. 271).

Menons par un point de D un plan P' parallèle à P. La droite D est située dans le plan P' car, s'il n'en était pas ainsi, la droite D coupant F rencontrerait le plan parallèle P, ce qui est contraire à rhypolhèse.

Fig. 171.

Fig. 272.

440. — Théorème. — Lorsque deux angles ont leurs côtés respectivement parallèles et de même sens :

V Les deux angles sont égaux; 2" Leurs plans sont parallèles.

Soient BAC et B'A'C (fig. 273) deux angles tels que AB et A'B', AGet A'C soient parallèles et de même sens. La trans-

lation de glissière AA' qui amène A en A' fait coïncider les deux angles et leurs plans.

Remarque. — Lorsque Ton sait de deux angles qu'ils ont leurs côtés respectivement parallèles, sans rien savoir sur les sens, on peut seulement dire que ces deux angles sont égaux ou svpplémentaires [n~ 109, 110 et 111].

441. — Angle de deux droites. — Définition. — On appelle angle de deux droites de V espace, Vangle formé par les parallèles menées à ces deux droites par un point arbitraire de l'espace,

Cetle définition est bien légitime, car, d'aprèsle théorème précédent, Tangle ainsi défini est toujours le même quel que soit le point par lequel on mène les parallèles.

Remarque. — Deux droites indéfinies forment quatre angles deux à deux égaux.

Deux droites illimitées forment donc entre elles deux angles, l'un aigu,rautre obtus.

Soient alors D et D' deux droites de l'espace (fig. 2174).

Par un point menons les parallèles A et A' à ces deux F'ff. 274. droites. L'angle des droites D

et D' sera l'un des deux angles formés par A avec A'; généralement on prend rangle aigu AOA'.

442. — Angle de deux semi-droites. — L'ambiguïté précédente n'existe pas si l'on a affaire à des semi-droites

AXGLES DIÈDRES. PUNS ET DROITES PERPENDICULAIRES. 20<.) OU si Ton choisit sur les droites indéOnies données des sens de parcours.

Soient en effet D et D' (fig. ajS) deux droites sur lesquelles nous choisissons des sens de parcours marqués par les flèches. Par un point O de l'espace, menons les semi-droites A et A' respectivement parallèles aux droites D et D' et de même sens.

Nous obtenons ainsi un an-

gle AOA' bien déterminé.

443. — Droites rectangulaires. — Deux droites de Vespace (qui peuvent ne pas se rencontrer) sont dites reetangnlair^s ou perpendienlaires entre eUemsi leur angle est droit.

11 résulte immédiatement de cçtte définition que : Si plusieurs droites sont parallèles.^ toute droite pei^endiculaire à Cune d'elles est pei^endiculaire aux autres.

444. — Remarque. — Lorsque deux droites D et D' sont parallèles, les parallèles A et A' menées à D et D' par un point coïncident. L'angle de A et A' est nul. On est donc conduit à dire que deux droites parallèles font entre elles un angle nul.

§ 3. — Annules dièdres. Rotations. Plans et droites perpendiculaires.

445. — Angle dièdre. — Définition. ~ On appelle angle diéilre la figure formée par deux semi-plans isBUS de la même droite.

Les deux semi-plans sont appelés les faces du dièdre; leur droite commune est appelée Varête du dièdre.

KLEMENTS DE GEOMÉTKIE.

Pour désigner un dièdre, on place deux lettres sur

l'arête et une lettre dans chaque face, et on énonce les deux lettres de l'arête entre celles qui désignent les faces.

Ainsi ]i\ (H(\hv. AHCD ost celui qui a pour fnces A ot D et pour arête BC (fig. 276).

Fijî. >76.

Di^d^o.

Fig. 177.'— Angles dièdres égaux.

446. — Angles dièdres égaux. — Deux angles dièdres sont dits égaux lorsqu'on peut transporter l'un de façon à le faire coïncider avec l'autre, de telle sorte que les deux faces du premier coïncident avec les deux faces du second.

Exemple. — Deux angles dièdres, dont les faces sont des semi-plans respectivement parallèles et de même sens^ sont égaux.

En effet si (fig. 277) les

dièdres ABCD et A'B'C'D' sont tels que les semi-plans A et A', D et D' soient respectivement parallèles et de même sens, la translation qui amène C en un point quelconque de B'C fait coïncider A avec A', D avec D et par suite les deux dièdres.