ANGLES DIÈDRES. PLANS ET DROITES PERPENDICULAIRES

461. — Théorème. — Deux plans perpendiculaires à nne droite sont parallèles.

Soient P et F deux plans perpendiculaires à la droite D en O et O' {fig. 287). Menons par D deux semi-plans quelconques qui coupent les plans P et P' suivant OA, OB et O'A', O'B'. Les droites OA et O'A' sont parallèles comme étant perpendiculaires à D dans un même plan. De môme 08 et O'B sont parallèles.

Les plans P et F des deux angles AOB et A'O'B' sont donc parallèles (n" 440).

462. — Théorème. — Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à Vun est perpendiculaire à Vautre.

Soient P et P' (fig. 287) ^''^' ^^^'

deux plans parallèles et D

une droite perpendiculaire à P. Dans toute rotation autour de D, le plan P glisse sur lui-même. Le plan P' reste parallèle à P, donc à lui-même et, comme le point 0' où il coupe D reste fixe, il coïncide avec lui-même dans le mouvement.

463. — Théorème. — Lorsque deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à Vune est perpendiculaire à Vautre,

Fig. a88.

Soient D et D' {ùg. 288) deux droites parallèles et P un plan perpendiculaire à D en 0, qui coupe D' en O'. Dans

FXKMKNTS DE (iEOMETRIE.

la translation do glissière 00' qui amène O en O', le plan P glisse sur lui-même, et D vient coïncider avec D'. DoncD' est aussi perpendiculaire à P.

464. — Théorème (Réciproque du précédent). - Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

Soient D et D' (Vxg. aSc)), deux droites perpendiculaires au plan P en et O'. Dans la translation de glissière 00' le plan P glisse sur lui-même. Le point vient en O' et la droite D devient la perpendiculaire élevée en O'au plan P.

Elle coïncide donc avec D', puisqu*en 0' on ne peut élever qu'une perpendiculaire à P (n- 457).

465. — Problème. — Par un point extérieur à un plan, abaisser une perpendiculaire sur ce plan.

Soient P le plan et le (fig. 289). En un point quelconque O' du plan P, élevons une perpendiculaire D' au plan P (n* 457). La perpendiculaire cherchée est la parallèle D à D^ menée par O. Cest d'ailleurs la seule puisqu'il n'y a qu'une parallèle à D' passant par O.