ANGLES DIÈDRES. PLANS ET DROITES PERPENDICULAIRES
le plan P' perpendiculaire à D (n* 455). Le plan cherché est le pian P parallèle à P' passant par O. C'est d'ailleurs le seul puisqu'il n'y a qu'un plan parallèle à P' passant par O.
467. — Angle plan d'un dièdre appelle ansle plan ou angle reetllii^e d'un angle dièdre T angle formé par les deux semidroites d'intersection de ce dièdre par un plan perpendiculaire à son arête.
Ainsi coupons le dièdre ACDB (fi^. 29 1) par le plan P perpendiculaire à son arête CD. Les deux semi-droites d'intersection OA et OB avec les faces du dièdre sont perpendiculaires en à Tarète CD. L*angle AOB est l'angle plan ou rectiligne du dièdre.
Définition. — On
Fig. 191. — Uecliligne d'un dièdre.
468. — Théorème. — Les rectilignes de deux dièdres égaux sont égaux, et réciproquement ; deux dièdres sont égaux lorsque leurs rectilignes sont égaux.
Soient ACDB et A'C'D'B' deux dièdres (fig. 292); AOB et
A'O'B' leurs rectilignes.
i" Si CCS deux dièdres sont égaux et qu'on les fasse coïncider de façon que O' coïncide avec 0, les rectilignes coïncident évidcniment.
:i* Si les rectilignes sont égaux, transpor-
tons l'angle A'O'B' sur l'angle égal AOB, la droite CD' perpendiculaire au plan A'O'IV viendra se placer suivant la perpendiculaire en O au plan AOB, et par suite coïncidera avec CD. Les deux dièdre;* coïncident; ils sont donc égaux.
Fig. 292.
469. — Mesure d'un angle dièdre. — Théorème. — Un angle dièdre a même mesure que son reciiligne.
Remarquons d'abord que le rectiligne de Tangle dièdre de I® est un angle plan de i®, car i8o angles dièdres, égaux à I^ ont pour somme un dièdre dont les faces sont en prolongement; si Ton coupe tous ces dièdres par un plan perpendiculaire à leur arête commune, leurs rectilignes sont i8o angles plans égaux dont la somme est un angle dont les côtés sont en prolongement. Chacun de ces rectilignes vaut donc i® d'angle. Ceci posé, il est clair qu'un angle dièdre contiendra autant de degrés d'angle dièdre que son rectiligne contiendra de degrés d'angle plan.
Considérons par exemple (fig. ag'î) un angle dièdre AOO'B de 8 degrés dièdres.
Menons par Taréte 00' les sept semi-plans qui parUigent le dièdre en 8 dièdres, égaux chacun à i®. Si nous couj>ons la figure par le plan perpendiculaire en
à 00', ce »lan coupe le dièdre suivant son rectiligne AOB et les semi-droites a'interseclion avec les semi-plans de partage divisent l'angle plan AOB en 8 angles plans, égaux chacun à i». L'angle AOB vaut donc S^ d'angle.
Si l'on fait tourner la face OAO' autour de 00' pour l'amener en coïncidence avec la face OBO', un point M de cette face décrit (n" 458) un arc de cercle MM' dans un plan per})endiculaire à 00', et cet arc a
même mesure que le rectiligne AOB du dièdre, et par suite même mesure que le dièdre.
470. — Propriétés des angles dièdres. — Tout ce que nous avons dit en géométrie plane relativement aux angles plans de môme sommet s'applique alors immédiatement aux angles dièdres de môme arête.
Il nous suffira d'énoncer ces définitions et propositions.
Un dièdre plus petit que 90° est dit aigu.
Fiff. 293.
Alesure d'un dièdre.
ANGLES DIÈDRES. PLANS ET DROITES PERPENDICULAÎRES. 311
Un dièdre plus grand que 90» est dit obtus.
Deux dièdres sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90**; ils sont dits supplémentaires lorsque leur somme est égale à ï8o®.
Deux dièdres adjacents dont les faces non communes sont en prolongement sont supplémentaires,
La som.me des angles dièdres consécutifs f marnés par des semi-plans issus d'une même droite est égale à 36o*>.
Les plans bissecteurs de deux dièdres adjacents supplémentaires forment entre eux un angle dièdre droit.
Considérons
Fig. 294. — Plans perpendiculaires.
