Plans perpendiculaires

(fig. 394), un angle dièdre droit AOO'B. Prolongeons les deiix faces au delà de Taréle. Nous formons ainsi quatre dièdres i, a, 3, 4 qui sont tous droits. Car i et 3 sont égaux comme opposés par l'arête (n" 453) ; 4 et 2 sont droits comme suppléments de l'angle droit i.

Les deux plans AA' et BB' qui forment autour de leur intersection quatre dièdres droits sont dits perpendiculaires.

Deux plans sont dits perpendiculalr<»i lorsqu'ils forment autour de leur intersection quatre angles dièdres droits. Il suffit pour cela que i*an des quatre dièdres soit droit.

472. — Théorème. — Lorsqu'une droite D est perpendiculaire à un plan P, tout plan Q passant par D est perpendiculaire au plan P.

Soit 00' la droite d'intersection [fig. 295) des plans Q et P. Dans le plan P, par le pied O de D, menons la perpendicu-

laire OA à 00'. L'angle DOA est droit puisque OD est

3lt!

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTHIE.

Fiff. 295.

perpendiculaire sur le plan P. C'est d'ailleurs le rectiligne

du dièdre POO'Q, qui est donc droit. Les deux plans P et Q sont perpendiculaires.

473. — Théorème. — Lorsque deux plans sont perpendiculaires, toute perpendiculaire menée dans Vun d'eux à leur intersection est perpendiculaire à Vautre.

Soient P et Q (fig. 195) deux plans perpendiculaires et D une droite du plan Q perpendiculaire à rinlerseclion 00' des deux plans. Menons, dans le plan P, la perpendiculaire OA à 00'. L'angle DOa, étant le rectiligne du dièdre POO'Q, est droit. La droite OD est donc perpendiculaire sur OA; comme elle est aussi perpendiculaire à 00', elle est perpendiculaire à deux droites du plan P, donc perpendiculaire à ce plan.

474. — Théorème. — Lorsque deux plansP et Q sont rectangulaires, si d'un point A de Q on abaisse une perpendiculaire sur le plan P, elle est située tout entière dans le plan Q.

Soit D la perpendiculaire abaissée de A sur P (fig, 295). Abaissons de A. dans le planQ, la perpendiculaire AO sur

l'intersection 00' des deux plans. D'après le théorème précédent, AO est perpendiculaire au plan P, donc elle se confond avec D, qui, par suite, est située dans le plan Q.

475. — Théorème. — L'jjitersection de deux plans perpendiculaires à un troisième ' perpendiculaire à ce troisième.

Fig. 29G.

ANGLKS DÎÈDBES. PUNS ET DROITES PERPENDICULAIRES 313

Soient P et Q deux plans perpendiculaires au plan R (Hg. 096). Si par un point A de leur intersection on abaisse la perpendiculaire AO sur le plan R, elle est (n" 474) contenue tout entière dans chacun des plans P et Q ; c'est donc leur intersection.

476. — Angles polyèdres. — Définition angle poljédre la figure formée par plusieurs plans passant par un même point, appelé sommet, chaque plan étant limité à ses deux intersections avec deux autres.

Ces intersections sont les arêtes de Tangle polyèdre. Les portions des plans Hrailés aux arêtes sont les faces.

On appelle

fig- ^01-— Angle polyèdre.

Ainsi la figure SABCD (fig. 297) est un angie polyèdre de sommet S, à' arêtes SA, SB, SC, SD, et dont les faces sont les angles ASB, BS(], CSD, DSA.

477. — Trièdres. — Un trièdre est un angle polyèdre qui a trois faces.

Dans un trièdre il y a donc trois

arêtes, issues d'un même sommet, et

trois faces.

Ainsi (fig. 298) le trièdre SABC a trois arêtes SA, SB, S(^ et trois faces qui sont les

/\ /\ /^ angles ASB, BSC, CSA.