GA— GB>MA— MB
2" Les points tels que la différence de leurs distances aux points A et B soit minima;
3° La région dont tous les points sont plus près de A que de B.
633. Étant donnés deux points A et B à l'mtéricur d'un dièdre, déterminer la ligne brisée ADGB, ayant un sommet G dans l'une des l'aces, un sommet D dans l'autre, et de manière que son périmètre soit minimum.
634. Lieu du point tel que la somme ou la différence de ses distances à deux plans qui se coupent soit constamment égale à une longueur donnée.
635. Lieu du point tel que la somme de ses distances à deux plans parallèles ait une valeur constante donnée, supérieure au double de la distance des deux plans.
636. Lieu du point tel que la différence de ses distances à deux plans parallèles ait une valeur constante donnée, infériejure à la distance des deux plans. ,
637. Trouver dans un plan Q un point qui soit à 2 m. d'un plan P| et à 3 m. d'un plan P,.
638*. Lieu du point tel que le rapport de ses distances k deux plans fixes allèles soit égal à un nombre donné.
639. Soient P| et P, deux plans parallèles, un point du plan P|. Déterminer dans ce plan P^ le lieu du point également distant du plan P, et du point 0.
640. Lieu du point également distant de deux plans parallèles.
641. Lieu du point également distant de deux plans qui se coupent.
642. Les plans bissecteurs des trois dièdres d'un trièdre ont une droite commune, dont tout point est équidistant des trois faces du trièdre.
643. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une figure plane se projette sur un plan suivant une droite?
644. Démontrer que si une droite de l'espace porte une division quelconque, c'est-à-dire si l'on a marqué sur cette droite des points A, B, C..., L, la projection de la droite porte une division semblable à celle de l'espace, c'est-à-dire que l'on a :
ab bc ac la
ÂB~BC"~ÂC~" LA*
En particulier, le milieu d'un segment se projette au milieu de la projection du segment.
645. Connaissant la projection d'un parallélogramme, construire la projection du centre de ce parallélogramme.
646. Connaissant la projection d'un triangle, construire la projection d'une médiane de ce triangle. .
647. Démontrer que les projections de deux figures homothétiques sont des figures homolhètiqucs.
648. Un parallélogramme étant donné comme projection d'un rectangle, construire la projection d'un second rectangle bomothétique au premier par
rapport à son centre avec le rapport —
649*. Un angle droit qui a un côté parallèle à un plan se projette sur ce plan suivant un angle droit.
Réciproquement, un angle droit qui se projette sur un plan suivant un angle droit a au moins un côté parallèle à ce plan.
La plupart des exercices suivants, notamment ceux des n** 650 à 654, sont des applications de cette double proposition.
650*. Démontrer que, si un triangle n'a pas son plan parallèle au plan de projection, il est impossible que les hauteurs du triangle de l'espace se projettent suivant les hauteurs du triangle-projection. Pour combien de hauteurs au plus peut-il y avoir exception?
651*. Démontrer que la bissectrice d'un angle ne se projette suivant la bissectrice de l'angle-projection que si la bissectrice de l'angle de l'espace est une ligne de plus grande pente dans le plan de l'angle, uu si elle est parallèle au plan de projection.
652 *. Les bissectrices des angles d'un triangle ne se projettent pas suivant les bissectrices des angles du triangle-projection. Pour combien de bissectrices au plus peut-il y avoir exception?
653*. Le centre du cercle circonscrit à un triangle ne se projette jamais au centre du cercle circonscrit au triangle-projection, sauf dans un cas.
654*. Construire une droite qui rencontre à angle droit deux droites donnéeSf et déduire de là toutes les droites perpendiculaires i deux droites données (perpendiculaire commune à deux droites). A cet effet, projeter la ligure sur un plan perpendiculaire à Tune des droites données.
Démontrer que le segment obtenu est plus court que tout autre segment ayant une extrémité sur chaque droite (plus courte distance de deux droites) .
655*. Quel doit être l'angle d'une droite avec le plan de projection pour que celte droite se projette en demi-grandeur?
656*. Étant donné un triangle ABC qui n'a que des angles aigus, détcr-
xs miner un plan parallèle à BCde manière que l'angle BAC se projette sur ce plan suivant un angle droit.
657*. Étant donné un triangle quelconque A B C, déterminer un plan par la condition que les projections de AB et de AC sur ce plan soient égales.
La médiane AD devra se projeter suivant une hauteur du Iriangle-projec-
tion ; l'angle aigu ADC devra se projeter suivant un angle droit. On est ramené au problème précédent.
658 *. Soient D et Z deux droites quelconques. On donne une symétrie à D par rapport à Z, jwur l'amener en D'. Démontrer qu'il existe une droite coupant ortliogonalement D, Z et D' (voir exercice 654).
659*. Soient Z et Z' deux droites parallèles, D une droite quelconque. Une symétrie par rapport à Z amène D en D^ ; une symétrie par rapport à V amène Dj en D'.
Démontrer que D et D' sont parallèles.
Projeter sur un plan perpendiculaire à Z.
660*. Si une droite D et un plan Q sont perpendiculaires, la projection de la droite D sur un plan P est perpendiculaire à l'intersection des plans P et Q.
661*. Soient deux plans P et Q se rencontrant suivant une droite XY. On projette un point A en Aj sur le plan P, en A" sur le plan Q, puis on rabat le plan Q sur le plan P autour de X Y, ce qui amène A'' en Ag.
Démontrer que la droite AjAj est perpendiculaire à XY.
662*. Soient P et Q deux plans qui se coupent suivant la droite XY. Déterminer une figure de l'espace par la condition qu'elle se projette suivant une droite sur chacun des plans P et Q.
663*. Lieu du milieu d'un segment de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux droites rectangulaires non situées dans le même plan.
Projeter sur un plan perpendiculaire à l'une des deux droites et passant par l'autre.
664*. Étant données deux droites rectangulaires non situées dans le même plan, construire un segment de longueur donnée, ayant une extrémité sur chaque droite, et taisant avec l'une d'elles un angle égal à un angle donné.
665*. On donne trois droites Dj, Dj, Dj, dont deux quelconques ne sont pas dans un même plan.
Construire une quatrième droite A qui les rencontre en A, B, G, de manière que l'un des points de rencontre soit le milieu de la distance entre les deux autres.
Généraliser, en construisant A pour que le rapport^ soit égal à un nombre donné k.
Projeter la figure sur un plan perpendiculaire à D|.
666*. Si deux plans P et Q se coupent suivant XY, et si une ligure F se projette sur chacun d'eux suivant une ligne droite, non perpendiculaire à XY, la figure F est une ligne droite.
667^. Un rectangle étant donné comme projection d'un carré, construire le recliligne du dièdre que fait le plan du carré avec le plan de projection.
Considérant en outre le cercle inscrit dans le carré de l'espace, et ses tangentes par les points où il coupe les diagonales, construire les projections de ces tangentes.
Diviser chaque demi-diagonale du rectangle dans le rapport de 1 à v/2.
668*. On considère deux droites D, et D, qui ne sont pas dans un même plan, et dont les projections sont parallèles. Démontrer que toutes les droites qui rencontrent D| et D^, et qui sont parallèles au plan de projection, s'appuient sur une même droite perpendiculaire à ce plan.
669*. Déterminer une figure de l'espace, sachant que si on la projette successivement sur les trois faces d'un trièdre trirect angle OXYZ, on trouve :
Sur le plan OXY, une droite perpendiculaire à* OX;
Sur le plan OYZ, un cercle;
Sur le plan OZX, une droite perpendiculaire à OX.
Montrer que cette troisième donnée n'est pas complète, et que si on la complétait, elle deviendrait alors une conséquence de la première, et que par suite elle pourrait être supprimée.
