V-= -aire ABGDXHH
Or
aire ABCD = aire ABC.
On a donc bien :
V traire ABC XHH'.
îi* Cas général. — Soit ABCDEA'B'CD'E' un prisme quelconque {ûg, 3 a 8).
Les plans diagonaux AA'C'C et Fig. 328. AA'D'D partagent le prisme en
trois prismes triangulaires de même hauteur h, pour lesquels on a :
vol. ABCA'B'C = aire ABC X K voL ACDA'C'D' = aire ACD X /i, vol. ADEA'D'E' = aire ADE X h.
Le volume V du prisme est la somme des volumes des trois prismes triangulaires. On a donc, en additionnant :
V = (aire ABC + aire ACD + aire ADE) h ou
V = fltVeABCDEx/i.
519. — Corollaire. — Deux prismes qui ont des bases équivalentes et môme hauteur sont équivalents.
Car les bases ont même aire.
520. — Volume d'une pyramide. — Le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de Vaire de sa base par sa hauteur.
Nous admettrons cette proposition sans démonstration.
Nous donnons d'ailleurs cette démonstration pour les élèves studieux, dans les n*' 521 à 523 ci-après.
521. — Théorème. — Deux pyramides qui ont des bases équivalentes et même hauteur sont équivalentes.
Soient (fig. 3^9) deux pyramides SABC eiTDEFa^Sini même hauteur et des bases équivalentes
aire ABC = aire DEF.
Supposons qu'elles reposent toutes deux sur un plan II. Si on les coupe alors toutes deux par un plan jparallèle à II, les deux sections sont équivalentes, car elles sont semnlables aux bases (n"" 505) et dans le même rapport.
Ceci posé, partageons SA en un certain nombre de parties égales, 4 par exemple, et par les points de division A,, A,, Ag, menons des plans parallèles à II qui coupent les deux pyramides suivant les sections A, Bt Cl, A, Bj Ca, As B, C3 et D^ Ej Fj, D, E, Fj, D, E3 F3, respectivement équivalentes aux trois premières. Sur chacune des sections Al 84 Cl, Aa Bj Cj, A3 B3 C3, construisons deux prismes d'arêtes latérales égales et parallèles à AA,, nous formons ainsi trois prismes P'j, P»,?',, tous les trois à Vintérieur de la pyramide et quatre prismes P, P,, Pj, P3 débordant sur la pyramide, le prisme P étant construit sur ABC.
Posons
S = »o/ P + »o/ Pi + vo/ P, + vo/ Pa, S' = vol P'i + vol P'a + vol P'5.
Les prismes de même base sont égaux, on a donc volP\=vol?i,
et, par suite :
Fig..3a9.
Or a est manifeste que le volume V de la pyramide SABC est plus grand que b' et plus petit que S : ^
Opérons de même sur la pyramide TDEF.
Construisons, sur les sections, des prismes Q,Qi,Qa,Q, et Q', Q' Q' Les deux prismes P et Q, ayant même hauteur et des bases éguhalentes, sont équivalents. On a donc :
volQzzzvol?; de même
vo/Q, = vo/P4, vol Q\ = vol?\, etc. volQs = volP^.
On en conclut
vol Q\ -^ vol Q'3 + vol Q'g = S'.
Le volume Y de la seconde pyramide est évidemment aussi compris entre S' et S :
Les volumes V et Y des deux pyramides étant tous deux compris entre les sommes S et S' des volumes des prismes, on en conclut que
Y'--V<S' — S, Y'V<tJo/P.
c'est-à-dire
Il en résulte que la différence Y — \ est rigoureusement nulle.
En effet, si, au lieu de diviser SA en 4 parties égales, oh Tavait-divisé en lo, loo, looo parties, etc., le raisonnement précédent subsisterait, etrinégalité(i) aurait toujours lieu. . , u . ^
Or, lorsque le nombre des divisions de SA augmente, la hauteur du prism'e P diminue et tend vers zéro. Le prisme 9 s' aplatit y son roimae tend vers zéro et peut être aussi petit qu'on voudra.
L'inégalité (i) prouve donc que la différence V — V est un nombre fixe plus petit que n'importe quel nombre, aussi petit qu'on voudra. V'.V est donc égale à «éro.
Les deux pyramides sont équivalentes.
522. — Corollaire. — Deux pyramides ayant même hase et leurs sommets sur une parallèle au plan de la base commune sont équivalentes.
Car elles ont même hauteur qui est la distance de la droite des sommets au plan de base.
523 — Volume d'une pyramide
pyramide est égal au
tiers du produit de sa A
base par sa hauteur.
1° TÉTRAÈDRE. — Soit Un
tétraèdre ABCD (fig. 33o), et BCDAFE le prisme triangulaire de base BCD et d'arête latérale AB. Joignons CE. Les deux plans ACD et ACE partagent le prisme en trois tétraèdres ABCD, CAFE et CAED, qui sont équivalents.
En effet :
vol ABCD = vol CAEF, Fig. 33o.
car ces deux tétraèdres ont des bases égales BGD et AEF et même hauteur. De plus,
vol CAED = vol FAED,
car ces deux tétraèdres ont même base AED et leurs soomiets sur une
parallèle FC au plan de la base (n" 522). D'ailleurs, comme le tétraèdre FAED a même base AFE et même hauteur que G AEF, on a aussi :
vo/CAED = t;o/CAEF.
Les trois tétraèdres étant équivalents, le volume de l'un d'eux AfiCD est le tien du volume du prisme :
vol ABCD = ^ aire BCD X AH.
Fig. 33i. ^
a* Pyramide quelconque. — Soit SABCDE (fig. 33 1) une pyramide quelconque.
Les plans diagonaux ASD et ASC partagent cette pyramide en trois tétraèdres de même hauteur SH ; et on a :
vol SABC = - aire ABCxSH,
vol SACD = ^ aire ACD x SH,
vol SADE = j aire ADE X SH.
Le volume V de la pyramide est la somme des volumes des tétraèdres.
V = ^ (aire ABC + aire ACD + aire ADE) SH,
V = jfliieABCDExSH.
