DH
Le volume est :
y=^aire ABCxDH,
V = iACxBExDH, o
- I a\l^ ax/i
Pour fl = i", on a : V = o"''^,ii785i.
EXERCICES THÉORiaUES
670. Déterminer les reclilignes de tous les dièdres qui se Irouyent dans un prisme droit à base quelconque.
671. Démontrer que toute section d'un parallélépipède par un plan qui rencontre au moins quatre arêtes est un polygone qui a ses côtés upposés parallèles.
672. Ayant figuré un parallélépipède, on y considère trois arêtes consécutives non dans un même plan, et on fjiit passer un plan par leurs milieux. Construire la section du solide par ce plan ; démontrer que cette section est un hexagone dont les côtés opposés sont égaux et parallèles, et que le plan sécant passe par Je centre du parallélépipède.
BouRLET. — Eléments de géom. 23
673. &>nstruire un parallélépipède de manière que trois de ses arêtes soient appliquées sur trois droites D|, D^, D,, dont deux quelconques ne sont pas dans un même plan.
674. Le segment limité par deux faces opposées d'un parallélépipède sur une droite qui passe par le point de concours des diagonales a son milieu en ce point (centre du parallélépipède).
675. Dans tout parallélépipède rectangle, les quatre diagonales sont égales, et le carré de chacune d'elles est égal à la somme des carrés de trois arêtes issues d'un même sommet (dimensions du parallélépipède).
676. L'arête d'un cube étant égale à a, quelle est la longueur de la diagonale?
677. Le plan qui passe par les extrémités de trois arêtes issues d'un même sommet A d'un parallélépipède coupe le solide suivant un triangle dont les médianes se rencontrent sur la diagonale issue de A, au tiers de cette diagonale à partir de A.
678*. Dans un prisme ayant pour base un triangle équilaléral ABC de centre 0, l'arête AA' se projette en demi-grandeur suivant AO sur le plan de la base. Calculer à un demi-degré près les rectiligties des dièdres AB, BG, CA.
679*. Un parallélépipède ABGDA'B'C'D' a pour base un losange ABCÎ) dont l'angle A a 6o® ; la face ABB'A' se rabat exactement sur la base autour de AB ; la face ADD'A' se rabat de même sur la base autour de AD. Calculer la hauteur du parallélépipède (rhomboèdre) en fonction de AB = a, et le rectiligne du dièdre AA'.
680. Si les quatre diagonales d'un parallélépipède sont égales, le parallélépipède est rectangle.
681. Un prisme ABCDA'B'G'D' a pour base un quadrilatère inscriptible
ABGD, symétrique par rapport à la diagonale DB. L'angle ADC a 6o<' ; la face ABB'A' est un carré, et le dièdre AB a So». Calculer la hauteur du prisme, sachant que DB = loo mm.
682. Soit SABC un tétraèdre quelconque, DEP sa section par un plan parallèle à ABC et rencontrant SA en D, SB en E, SC en F. Construire l'intersection des plans AEF et BFD, et la trace de cette intersectiou dans le plan CDE.
Couper ces trois plans par le plan ABC.
Quel est le lieu de celte trace quand le plan DEF se déplace en translation, le plan ABC étant lui-même fixé ou mobile en translation ?
683. Étant donnée une pyramide quelconque, marquer sur une arête latérale un point tel qu'en menant par ce point un plan parallèle à la base, l'aire de la section soit égale à la moitié de l'aire de la base.
684. Une pyramide régulière a pour base un hexagone régulier ABCDE F. On détermine un plan par la droite AB et par le milieu de SD. Construire la section de la pyramide par ce plan, et le point de rencontre de ce plan avec la hauteur.
685. Tout plan parallèle à deux arêtes opposées d'un tétraèdre coupe les quatre autres arêtes en des points qui sont les sommets d'un parallélogramme. Voir comment varie l'aire de ce parallélogramme quand le plan sécant se déplace en translation.
686. Quel est le polyèdre que l'on construit en menant par chaque arête d'un tétraèdre un plan parallèle à l'arête opposée ?
687. Deux triangles équilatéraux ABC et abc coïncident. Soient et o leurs centres confondus. On donne à abc une translation 00' perpendiculaire au plan ÂBC, puis une symétrie par rapport à 00' ; le triangle abc est alors devenu A'B'C
On considère le .polyèdre limité par les triangles ABC, A'B'C, A'BC, CA'B', B'CA, AB'C, C'AB, BC'A'.
Démontrer que l'on peut, de trois manières identiques, partager ce solide en deux pyramides à base rectangle, que ces deux pyramides sont symétriques l'une de l'autre par rapport à un certain axe, et calculer 00' pour que AG'B soit un triangle équilalcral.
Projeter sur le plan ABC.
688. Les plans perpendiculaires aux six arêtes d'un tétraèdre en leurs milieux passent par un même point, qui est équidistant des quatre sommets.
689. Les plans bissecteurs des six dièdres d'un tétraèdre passant par un même point, équidistant des quatre faces.
690*. Dans tout tétraèdre ABCD, le plan bissecteur du dièdre AB coupe l'arête CD en deux segments proportionnels aux aires des faces CAB, DAB.
Ils sont proportionnels aux hauteurs issues de C et de D dans ces faces. Couper le tétraèdre par deux plans perpendiculaires à ÂB, l'un par C, l'autre par D.
691*. Si le plan bissecteur du dièdre AB dans un tétraèdre ABCD coupe
la face CAD suivant la bissectrice de l'angle A, les angles CAB, DAB sont égaux, et le bissecteur considéré est perpendiculaire au plan CAD.
692. Le côté de la base d'une pyramide hexagonale régulière est donné, égal à a. Calculer la hauteur de la pyramide, sachant que le dièdre formé par cette base avec une face latérale a i^^'*.
693*. Soit ABCD un quadrilatère plan quelconque, dont les côtés opposés se coupent en E et en F. Le quadrilatère est éclairé par un point 0. Démontrer que l'ombre qu'il porte sur un plan parallèle à OEFest un parallélogramme. Condition pour que ce parallélogramme soit un rectangle.
EXERCICES PRATiaUES
694. La somme des aires des faces d'un parallélépipède rectangle est égale à 700 cm', et ses trois dimensions sont entre elles comme i, 2, 4. Calculer ces dimeubions.
695. Une pyramide régulière à base carrée a toutes ses arêtes égales à 40 mm. ; on en détache la pyramide comprise entre le sommet et un plan parallèle à la base, passant au milieu de la hauteur. Calculer la somme des aires des faces du polyèdre restant.
696. Le côté de la base d'une pyramide triangulaire régulière est égal à 20 mm., et Taire latérale est égale à la cm'. Calculer la hauteur de la pyramide.
697. Un prisme a pour base un carré de 3 cm. de côté ; une face latérale est aussi un carré ; une aOlre est un losange ayant un angle de 60^. Calculer l'aire totale du prisme.
698. On construit un tuyau ayant U figure d'un prisme carré réguliqr. On assemble pour cela quatre planches rectangulaires égales, de 3 m. de longueur, sio cm. de largeur et 8 mm. d'épaisseur. De quelle manière faut-il disposer les quatre planches, et quelle est alors la surface extérieure du tuyau?
699. Un blutoir est un tuyau ouvert aux deux bouts, ayant la figure d'un prisme hexagonal régulier; ses parois sont des panneaux en tissu de soie tendu sur des règles qui représentent les anHes latérales, et logées à l'intérieur du tuyau. Le tissu devant coûter 10 francs le mètre carré, combien coûte la soie nécessaire à la construction d'un blutoir qui a 4 mètres de longueur et 3-3 centimètres de largeur pour chnque face?
700. Calculer l'arête d'un cube dont l'aire totale soit équivalente à Taire totale d'une pyramide régulière à base carrée dont la hauteur a 35 centimètres et le côté de la base 4^ centimètres. «
701. Calculer le volume d'un cube dont Tarôte a 4 centimètres et demi.
702. Calculer Tarêted'un cube dont le volume a 5i2 centimètres cubes.
703. Calculer la capacité d'une boîte parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 7 centimètres, 10 centimètres, iii<"",5.
704. Quelle est la contenance d'un bassin dont la profondeur est i",2o, et dont le pourtour est un dodécagone régulier de 20 mètres de rayon?
705. Une pièce de boisa la figure d'un prisme droit carré de 25 centimètres de côté et de 6 mètres d'arête. Dans une face latérale, on trace AB perpendiculaire aux arêtes à 2 mètres d'un bout ; dans la face opposée, on trace CD perpendiculaire aux arêtes à 3™,6o de l'autre bout.
On scie la pièce en faisant passer le trait de scie par les droites AD et BC. Quel est le rapport des volumes des deux parties de la pièce de bois !
706. Un coin en fer est un prisme triangulaire droit dont la base est un triangle isocèle; les côtés de cette base ont 315 millimètres, 55 millimètres, 3i5 millimètres; l'arête latérale a 5o millimètres. Calculer le poids de cet objet, sachant qu'un décimètre cube de fer pèse 7800 grammes.
707. On donne comme base d'un prisme droit un polygone qui est la somme d'un rectangle et d'un hexagone, juxtaposés par un côté AB qui a 5o centimètres de longueur; Tautrecôlédu rectangle a 20 centimètres. Dans l'hexagone, la perpendiculaire à AB en son milieu est un axe de symétrie; les col es opposés sont parallèles, les angles adjacents à AB ont i350 et les six côtés sont égaux. Calculer le volume du prisme, dont Tarête latérale a 40 centimètres.
Calculer son poids, si la substance dont il est construit pèse 2Ô00 Kg par mètre cube.
EXERCICES THËORiaUES.
708. Un prisme carré régulier a son arête latérale double du côté de sa base; son aire latérale est double de l'aire d'un carré de côté donné a. Calculer les dimensions du prisme.
709. Exprimer l'aire totale d'un tétraèdre régulier en fonction de sa hauteur.
710. Le volume d'un prisme triangulaire quelconque a pour mesure le demi-produit de T^iirc d'une face latérale par la distance de son plan à l'arête opposée (615).
711. Soit AA' une arête d'un parallélépipède dont la base est ÀBCD. Quel est le rapport entre le volume de ce polyèdre et celui du tétraèdre A'ABC V
712. On coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, et rencontrant une arête latérale aux trois quarts de sa longueur à partir du sommet. Calculer le rapport des volumes des deux polyèdres en lesquels ce plan partage la pyramide.
713. Étant données trois droites parallèles, on porte sur chacune d'elles un segment égal à un segment fixé; on obtient les arêtes d'un prisme tri* angulaire, qui varie de forme quand on change les dispositions relatives des trois segments.
Démontrer que le volume de ce prisme est constant.
714. Partager un tétraèdre en trois parties équivalentes par un plan qui passe par une arête.
715. Soit ABCD un tétraèdre quelconque, E le point de concours des médianes du triangle BCD, G le point situé sur AE fntre A et Ë de
manière que AG = - de AE. Démontrer que le tétraèdre qui a pour som-
met le point G et pour base l'une quelconque des faces de ABCD équivaut au quart de ABCD.
716. On marque les milieux des douze arêtes d'un cube, et on détache huit pyramides par les plans qui passent par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet.
Exprimer, en fonction de l'arête a du cube, le volume et l'aire totale du polyèdre restant.
717. Dans un cube, les centres de trois faces qui passent par un sommet sont les sommets d'un triangle. Exprimer en fonction de l'arête a du cube la surface totale et le volume du polyèdre dont les faces sont les triangles ainsi définis (or /aèrfre régulier).
718. Même question, en remplaçant le cube par un prisme droit carré.
719. Même question en remplaçant le prisme droit carré par un parallélépipède rectangle.
720. On fixe la base d'un tétraèdre. Comment peut-on faire varier la position du sommet si l'on veut que le volume du solide reste constant?
721. Par chaque sommet duo tétraèdre on mène un plan parallèle à la face opposée. Construire les arêtes du solide limité jMir les plans ainsi déGnis, et comparer son volume à celui du tétraèdre.
722. On prend à Vintérteur d'un prisme un point quelconque S. Démontrer que la somme des pyramides qui ont ce point pour i^ommet, et pour bases les faces latérales du prisme, est indépendante de la position du point S.
723. Soit a un segment donné. Trois droites parallèles fixes étant données, on porte sur l'une d'elles un segment AB égal à a, et on marque arbitrairement sur les deux autres les points C et D. Démontrer que le Tolume du tétraèdre ÂBGD est coustant quand on fait mouvoir G et D sur les droites qui les portent, et qu'il est indépendant de celle des trois parallèles sur laquelle on prend le segment AB.
724. Étant donné le polyèdre défini dans l'exercice 687, on prend la translation 00' égale à la diagonale du carré construit sur le rayoo du triangle équi latéral ABC. Évaluer en fonction de AB=a le volume du polyèdre.
725. AA', BB', CC, DD' étant quatre arêtes parallèles dans un cube dont une face est ABCD, on coupe le cube par le plan qui passe par A, D', et par le milieu de BB'. Calculer le rapport des volumes des deux solid(^ en lesquels ce plan partage le cube.
726. Un segment EF, parallèle au plan d'un rectangle ABGD, se projette sur le plan du rectangle suivant un segment parallèle à AB ayant son milieu au centre du rectangle. Connaissant AB = a, BG =6, EF ==^, et la distance A de EF à sa projection, évaluer le volume du polyèdre (appelé comble) limité par le rectangle ABGD, les triangles EAD, FBC, cl les trapèzes AEFB, GFED.
