U SPHÈRE

rayon. La droite étant tangente à une courbe tracée sur la sphère ef^i tangente à la sphère (n* 542).

3" Si la didance du centre à la, droite est plus petite que le rayon, la droile coupe la sphère en deux points.

Car elle coupe le cercle en deux points.

Remarque. — Lorsque la droite D, est tangente à la sphère, elle est perpendiculaire au rayon OH^ du point de contact, car elle est tangente en Hj au grand cercle C.

bAA. — Plan tangent à la sphère. — Théorème. — Toutes les tangentes en un point ^^^^^ d'une sphère sont situées dans V**"**^****,^^^ un plan appelé plan tangent à la \ .^!7***'*^^*«*v,^ sphère en ce point. \ ••..^*\

En effet (fig. 345) toute tan- / ^*-<^ V \ gente MT au point M à la / / ^^^^'A-^.^

sphère S est perpendiculaire I ^O 1

au rayon OM; elle est donc \ /

située dans le plan passant \ y

par M et perpendiculaire. à OM. ^s^ ^ ^ ^y^

Le plan tangent est le plan ^ig. 345. - Plan tangent. perpendiculaire à l'extrémité du rayon du point de contact.

545. — Aire de la sphère. — L'aire de la surface d'une sphère est égale à quatre fois Faire de Vun de ses grands cercles.

Nous admettrons cette proposition sans démonstration. Soit R le rayori de la sphère. L'aire d'un grand cercle est égale à 1: R*.

Vaire de la sphère est donc :

S = 4itR«.

Exemple. — L'aire de la surface d'une sphère de i mètre de rayon

est :

4ic = i2'»',5664.

546. — Volume de la sphère. — Le volume d'une sphère est égal au produit de Faire de sa surface par le tiers de son rayon.

Nous ne démontrerons pas celte proposition. • Le volume d'une sphère de rayon R est donc :

ou :

Exemple. — Le volume d'une sphère de 5 centimètres de ravon est :

V = l3,i4i6Xi25.

C'est un volume d'environ un demi-htre.

EXERCICES THÉORIQUES

727. Démontrer que deux cylindres de révolution dont les axes sont parallèles peuvent avoir deux génératrices communes, ou une seule génératrice commune, ou n'avoir aucun point commun.

728. Lieu du point dont la distance à une droite donnée est égale à une longueur donnée.

729. Quelles peuvent être les lignes communes à une surface cylindrique et à un plan parallèle aux génératrices de celte surface?

730. Etant donné un cylindre de révolution reposant par sa base sur un plan P, on marque sur une de ses génératrices un point quelconque A, et on prend dans le plan P un point quelconque T. Construire les points communs à la droite TA et à la surface cylindrique donnée.

731. Construire (théoriquem«'nt) les points communs à une droite indcfmie et à une surface cylindrique, celle surface étant déterminée par sa directrice donnée dans un plan, et par la direction de ses génératrices.

Mener par la droite un pi m parallèle aux géaératiices.

732. Soient a et 6 les dimensions d'un rectangle, que l'on fait tourner successivement autour de deux côtés adjacenls. Exprimer le rapport des aires latérales, celui des aires totales, et celui des volumes des deux cyliudres engendrés.

733. Deux cylindres de ré\olution de même hauteur h ont leurs bases dans le même phn; l'aste de chacun d'eux est une frénéralrice de l'autre. Exprimer le volume du solide commun aux deux cylindres, sachant que la distance des deux axes est R.

734. ( alculiT le volume de l'anneau engendré par un rectangle tournant autour d'une parallèle à l'un de ses côtés; on doime la longueur h de ce côté, la longueur sa de l'autre, et la distance R entre le centre du rectangle et l'axe de rotation.

735. Un cône de révolution repose par sa base sur un plan donné. On joint un point T de ce plan à un point A pris ^ur une génératrice du cône, et on demande de construire les points communs à la droite TA et à Ja surface conique.

736. Quelles peuvent être les lignes communes à une surlace conique et à un plan qui passe par le sommet de celte surface?

737. Con^truire (théoriquement) les points d'intersection d'une droite et d'une surface conique de révolution.

Faire passer un plan par la droite et par le sommet du cône.

738. On donne une génératrice sur un cône de révolution ; on demande de construire une seconde génératrice faisant avec la première iiu angle égal à un angle donné.

739. Lieu de Taxe d'un cône de révolution admettant comme génératrices deux droites données.

740. Construire un cône de révolution passant par trois «emi-droites données.

741. Comment se compose le solide engendré par un triangle quelconque tournant autour d'un de ses côtés?

742. Calculer le volume engendré par un triangle équilatéral tournant autour d'un de ses côtés, dont la longueur a est donnée.

743. C&lculer le volume engendré par un trapèze isocèle dans lequel on connaît une base &, un angle adjacent a, et la longueur c des côtés non parallèles, le trapèze tournant : i" autour de la base b\ 2° autour de l'autre base ; 3<> autour d'un côté c.

744. Dans un triangle quelconque ABC, on joint, les milieux D et Ë de CA et de CB, et on fait tourner la figure autour de AB. Démontrer que le volume engendré par Iç trapèze ADEB équivaut à la moitié du volume engendré par le triangle ABC.

745. Un triangle rectangle tourne successivement autour de ses trois côtés, fiémontrer que les volumes qu'il engendre sont proportionnels à la hauteur et aux côtés de l'angle droit.

746. Exprimer l'aire de la surface engendrée par les côtés d'un demihexagone régulier tournant autour d'un diamètre.

747. Ayant mené la hauteur h d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est a, on fait tourner autour de la hauteur les deux parties du triangle. Démontrer que la somme des volumes obtenus a pour expression

i7iA(a* — 2A*).

748* Soient 6 et c les côtes de l'angle droit d'un triangle reetangle^A la hauteur relative à riiypoténusc. On sait que

ht 6*^c*

Soient a, 6* y les volumes engendrés par ce triangle tournant, autour de l'hypoténuse a et des côtés b et c. Démontrer que

EXERCICES THÉORiaUES

749. Quel est le lieu des points de l'espace d'où la distance de deux points (ixes est vue sous un angle droit?

750. Déterminer, dans un plan, le lieu des points d'où la distance de deux points donnés de l'espace soit vue sous un angle droit.

751. Étant donnés deux droites parallèles D^ et D, et un point A, déterminer un point qui soit à la distance /|^ de D^, à la distance /,,de D^, et à la distance a de A.

752. Lieu de la projection d'un point A sur tous les plans qui passent par un point (ixe 0.