TRANSLATION. — PARALLÈLES

Les deux droites ainsi obtenues AC et BD sont parallèles. Pour obtenir toutes les parallèles à une droite, on appliquera donc (fig.

35) suivant cette droite CA Tun des trois côtés de l'équerre, de préférence le côté moyen ; contre un autre côté, de préférence le plus petit, on applique une règle qui sera maintenue fixe. Il ne reste plus qu'à faire glisser l'équerre le long de la règle.

49. — Principe. — Deux droites parallèles qui ont un point commnn coïncident.

Nous considérerons ce principe comme évident expérimentalement.

Il est clair, en effet, que si deux droites sont homologues par translation, c'est-à-dire se déduisent l'une de l'autre par le mouvement d'une équerre, elles coïncideront dès qu'elles auront un point commun, car dès que le bord de l'équerre passe par un point de l'une des droites, ce bord coïncide avec elle.

Remarque. — Il est bon d'insister sur ce fait que deux droites, qui se déduisent l'une de l'autre par translation, coïncident dès qu'elles ont un point commun. Il en résulte qu'il y à une infinité de translations qui amènent une droite D à coïncider avec sa parallèle D' ; car dès qu'un point de D est venu coïncider avec un autre point arbitraire de D', ces deux droites sont confondues.

50. — Thécrème. — Deux droites parallèles distinctes ne se rencontrent pas.

ÉLÉMENTS DE CÉOMÉTRÎE.

Car si elles avaient un point commun, elles coïncideraient (n" 49).

51. — Théorème. — Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

En effet, dire que les droites D' et D" (fîg. 36) sont parallèles à une troi- ^" sième D, c'est dire

n, que, par une trans-

• lalion, on peut

D ' amener D' en D, et

Fier. 36. que, par une autre

translation,onpeut amener D en D".' Par suite, en vertu du postulat du n" 43, il existe une translation qui amène directement D' en D" ; et ces deux droites sont parallèles.

52. — Théorème. — Par un point d'un plan on peut mener une parallèle à une droite de ce plan et une seule.

Soit (fig. 37) D une droite et O un point. Pour tracer une parallèle à D passant par O, opérons comme au n* 48.

Posons une équerre sur le plande façon que l'un des côtés AB coïncide avec D. Appliquons une règle le long ducôtéACdel'é- Pj^ 3^ querre et mainte-

nons fixe cette règle. Pour avoir la parallèle demandée, il suffit de faire

TRANSUTION. — PARALLÈLES. 27

glisser l'équerre le long de la règle jusqu'à ce qu'elle occupe une position A'B'C, telle que le côté A'B' passe par O. A'B' est alors la parallèle D' cherchée.

C'est d'ailleurs la seule, car s'il existait une autre parallèle à D, soit D", passant par O, les droites D' et D" étant parallèles à D seraient (n" 51) parallèles entre elles et comme elles ont un point commun 0, elles coïncideraient (n« 49).

53. — Théorème. ^— Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite qui rencontre Vune rencontre Vautre,

Fig. 38.

En effet, soient (fîg. 38) D et D' deux droites parallèles et A une droite qui rencontre D en un point A. Si l'on fait une translation en prenant pour glissière A, la droite D se déplacera parallèlement à elle-même et on pourra l'amener à passer par un point O de D'. A ce moment elle coïncidera avec D',et le point A, en décrivant la glissière A, sera venu en A' sur D'.

Ce point A' sera commun à A et D'. Donc A rencontre D'.

Pratiquement, pour effectuer la translation de D, on peut imaginer qu'on ait construit une sorte d'équerre fausse E dont un côté coïncide avec D et l'autre avec A. 11 suffit de faire glisser réquerre E le long de A jusqu'à ce que, en E', le côté libre passe par 0. Le sommet A est bien alors venu en un point A' qui est à la fois sur D' et A.