Corollaire. — Deux droites respectivement parallèles

à deux droites qui se coupent, se rencontrent

Soient A et B (fîg.

39), deux droites qui se coupent en O. Soit A' une parallèle à A et soit B' une parallèle à B.

A rencontrant B, rencontre sa parallèle B'; mais alors B',

Fig. 39.

rencontrant A, rencontre sa parallèle A'. Donc A' et B' se coupent.

55. -— Théorème [Réciproque du n° 50]. — Deux droites d'un plan qui ne se rencontrent pas sont parallèles.

Soient, en effet (fig. 40), D et D' deux droites d'un plan qui ne se rencontrent pas. Elles sont parallèles; en effet, par un point de D' menons la parallèle A à D. Si D' ne

Fig. 40.

coïncidait pas avec A, D', rencontrant A en O, rencontrerait aussi (n° 53) la parallèle D à A, ce qui est contraire à notre hypothèse, ii faut donc que D' coïncide avec A, c'està-dire soit parallèle à D.

56. — Remai^que sur les Réciproques. — Deux théorèmes sont dits iréciprcMiues i'uji de l'autre lorsque la conclusion de Vun est l'hypothèse de Vautre et vice-versa.

TRANSUTION. — PARALLÈLES. 29

Ainsi les deux théorèmes des n" 50 et &6 sont réciproques l'un de l'autre.

Dans le premier (n* 50), l'hypothèse est : deux droites soiU parallèles ; et la conclusion : les deux droites ne se rencontrent pas.

Dans le second (n** 55), l'hypothèse est la conclusion du précédent car c'est : deux droites ne se rencontrent pas; tandis que la conclusion est l'hypothèse précédente, à savoir : les deux droites sont parallèles.

Il est bon de noter de suite*que lorsqu'un théorème est vrai, le théorème réciproque ne l'est pas nécessairement.

57. — Principe. — Dans une translation rectiUgne toutes les glissières sont parallèles entre elles.

Fis- U.

Ce principe est facile à vérifier expérimentalement. Traçons, sur une teuille de papier (fig. 40 une droite G à la règle, et laissons la règle en place, ^m la règle appuyons une équerre; et en un point de l'éauerre fixons un bout de crayon.

Si l on fait glisser Téquerre le long de la règle on réalise un mouvement de translation dont G est une glissière et le crayon décrit une droite G' qui est une seconde glissière.

En déplaçant sur l'équerre, on peut tracer autant de glissières que l'on voudra. On vérifie ensuite à l'équerre que ces glissières sont parallèles.

Réciproque. — Lorsque plusieurs droites sont parallèles, dans toute translation pour laquelle Vune d* elles est glissière, les autres le sont aussi.