Mesure d'un arc de cercle. — Grades
Lors de la création du système métrique, Borda avait imaginé et mis en usage un système de mesure des arcs beaucoup plus commode pour les calculs pratiques et qui est actuellement usité dans le service géographique de
l'armée. Dans ce système le quadrant est divisé en loo parties égales, et chacune de ces parties est appelée un grade, qui est l'unité d'arc.
Le grade d*«rc est la 400" partie du cercle auquel il appartient.
Les soits-multiples du grade sont ses sous-multiples décimaux,
La minute de grade est la iOO^ partie du grade. La seconde de grade est la iOO^ partie de la minute. On écrit un nombre de grades comme un nombre décimal ordinaire.
Ainsi 370,7283 désigne 37 grades et 7383 dix millièmes de grade, ou 37 grades, 72 minutes, 83 secondes.
C'est là le grand avantage pratique de l'emploi du grade ; en revanche, dans ce système, le tiers d'angle droit a une mesure compliquée (33^,3333) tandis qu'il vaut,en degrés, 3o«.
92. — Changement d'unité. — Il est très facile de calculer la mesure d'un arc en grades, connaissant sa mesure en degrés et inversement.
Il suffit, en effet, de remarquer que puisque 90» valent ioo« on a
1"=— il-=Jl.
Ce qui permet de convertir des grades en degrés.
Exemple. — Convertir en grade i5' 24' 36''.
iS*» = 12 Xi5 = i6«,6666
a4' = ^ Xi4== OS4444
36" =^x36= osoiii * 34ao ■ *■
:. J^JV^' =^ I7^Ia2i '
Inversement puisque ioo« valent 90* on a :
Pour avoir le nombre des deyrés connaissant le nombre dea grades, il suffit de multiplier le nombre des grades par 0,9.
On obtient ainsi des degrés et fractions décimales de degrés.
11 restera à convertir ces fractions décimales de degrés en minutes et secondes en multipliant deux fois par 60.
Exemple. — Convertir en degrés i7'',iaai :
i7,iaai Xo,9= ^5,40989.
Il y a donc iS"", et la fraction décimale o*,4o989. I degré contenant 60 minutes : or, 40989 contient 0,40989X60 minutes. Or : 0,40989X60 = 14,5934.
n y a donc 34' et la fraction décimale o',S934. I minute contenant 60 secondes : 0^,5934 contiento, 593 ix6o secondes. Or : 0,5934 X 60 = 35,604.
TjC nombre des secondes est donc 36 (par excès).
L'arc est donc de i5"' 24' 36".
On trouve dans toutes les tables de logarithmes des tables spéciales qui facilitent ces conversions.
93. — Théorème. — Des angles au centre égaux interceptent sur le cercle des arcs égaux ;
Et réciproquement, des angles an centre qui interceptent sur le cercle des arcs égaux sont égaux.
Ceci est presque évident par rotation autour du centre. Soient, en effet, un cercle de centre (fig. 67) et deux
angles au centre égaux AOB et A'OB' qui interceptent sur le cercle des arcs AB et A'B'. Puisque ces angles sont égaux,
si l'on fait tourner Tangle AOB autour de jusqu'à ce que OA vienne coïncider avec OA', la semi-droite OB viendra nécessairement coïncider avec OB'. Or, dans la rotation, l'arc AB est resté sur le cercle et, comme A est venu en A' et B en B', AB coïncide avec A'B'. Les arcs A'B' et AB sont donc égaux.
BOCRLET. — ÉLÉMEKTi DE &<0M. 4
no ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.
Inversomcnt, si les arcs AB et A'B' son.t égaux, on peut les amener en coïncidence par une rotation autour de O et les angles au centre cor- .
respondants AOB et / j
A'OB' viennent coïncider : ils sont donc égaux.
Considérons un demicercle divisé en i8o Fig. 67.
degrés,par exemple un
rapporteur (fig. 69). Joignons le centre du demi-cercle à tous les points de division. Nous formerons ainsi 180 angles de même sommet 0, successivement adjaœnts (n* 65) et qui sont tous égaux, puisque (n* 93) ils interceptent sur le cercle des arcs égaux. Chacun de ces angles vaut un degré d'angle^ puisque (n" 66) la somme de 180 de ces angles égaux forme un angle dont les côtés sont en prolongement.
Si, maintenant, on divise un degré d*arc en 66 parties égales, qui sont des minutes d^arc, et qu'on joigne les points de division au cenire, on divise ainsi chaque degré d'angle en 60 angles égaux qui sont chacun une minute d angle.
De même, à chaque seconde d'arc correspond un angle au centre qui est la seconde d'angle et qui est la 6o* partie de la minute d'angle.
Cela étant, considérons (fig. 68) un angle AOB. Décrivons de O comme centre avec un rayon arbitraire un arc de cercle limité en A et B aux côtés de Tangle.
Mesurons d'abord cet arc de cercle. Supposons, par exemple, qu'il contienne 18 degrés d'arc.
Fig. 68.
MESURE DES ANGLES. 5i
Joignons lous les points de division aiî sommet O. Nous partageons ainsi
Tangle AOB en i8 angles égaux (n» 93) dont chacun vaut un degré dt angle. L'angle
AOB a donc pour
mesure iS^. L'angle
au centre contient
donc autant de degrés, minutes, secondes dtangle que
Tare de cercle intercepté contient de degrés, minutes,
secondes d'arc.
En d'autres termes :
Un angle au centre a même mesure que ïarc de cercle coinpris entre ses côtés.
Cet énoncé suppose évidemment que Ton prend, comme unité d'angle, Tangle au centre qui comprend entre ses côtés Funité d'arc.
Remarque. — Il est clair que- si on prend comme unité d'arc le grade^ l'unité d'angle correspondant sera le gi^ade d'angle^ tel qu'un angle droit vaut ioo<*.
