Angles droits. — Droites perpendiculaires
— Nous savons qu*on appelle angle droit un angle de 90®.
Deux angles droits sont évidemment égaux puisqu'ils ont même mesure, à savoir 90®.
Un angle droit est égal à son supplément.
Soit alors AOB (fig. 79), un angle droit. Prolongeons indé- Uniment les deux côtés de Tangle ; les deux droites indéfinies forment autour du point qucUre angles droits.
Fig. 79. — Droites perpendiculaires.
Un effet les angles COB et DOA sont droits comme, sup- XX • " /x ■
pléments de l'angle droit BOA et l'angle COD est égâleméht
droit puisqu'il est égal à son opposé par le sommet BQ A.
Les deux droites AC et BD, qui forment autour de' O quatre angles égaux, sont dites perpendiculaires l'une à l'autre.
Réciproquement, si deux droites forment autour de O
quatre angles égaux, la somme de ces angles étant égale
36o à 36oo, chacun d'eux vaut —-- 1=900.
Les quatre angles sont droits.
Si de comme centre on décrit un cercle, les quatre angles divisent ce cercle en quatre quadrants.
Deux droites indéfinies sont pcrpendlcnlalrca rnae *
l*aiitre, si elles forment autour de leur point d'intersection quatre angles égaux.
Ces angles égaux sont droits.
Deux droites qui se coupent, et qui ne sont pas perpendiculaires Vune à Vautre, sont dites obliques Vune par rapport à Vautre,
106. — Définition. — On appelle bisscciriee d'un angle une semi-droite, issue de son sommet, qui partage V angle
en deux parties égales.
Ainsi la semi-droito OC (fig, 80) est
bissectrice de l'angle AOB, si les an-
/^\ /X gles A0(1 et (!0B sont égaux.
107. — Théorème. — Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont rectangu-
Bissecti-ice d'un angle, laires.
Soient AOB et BOC (fig. 81) deux angles adjacents sup-
plémentaires, OD et OE leurs bissectrices, on a :
Fig. 8i. — Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires.
' ^^ y^ /x AOB BOC 180O
108. -^ Théorème. — Les bissectrices des quatre angles formés par deux droites sécantes sont deux droites indéfinies perpendiculaires.
Soient AA' et BB'(fig. Si) deux droites qui se coupent en O. Remarquons d'abord que les bisseQtrices
/\ OC et OC des deux angles opposés par le sommet AOB
/\ et A'OB' sont en prolongement, car les deux angles sont
symétriques par rapport à 0, par suite, ils coïncident, ainsi que leurs bissectrices, par une rotation de 180»
autour de 0.
De même les deux bissectrices OD et OD' des
angles BOA' et
B'OA sont en prolongement.
D'ailleurs, comme, d'après le théorcmc prcccderit, l'aii-
Fitr. 8a.
bO
gle COD est droit, les droites indéfinies CC et DD' sont bien perpendiculaires.
109. — Théorème. — Deux angles qui ont les côtés respectivement parallèles et de même sens sont égaux.
/\ Soient AOB
et A'^B'
(fîg. 83) deux angles tels que OA et
Fig. 83. — Angles à côtés parallèles.
0'A',OBelO'B' soient parallèles et de même sens. Ils sont égaux, car par la définition même du parallélisme de deux semi-droites (n* 59) ils coïncident par une translation de glissière 00' qui amène en 0'.
ilÔ.— Remarque.— Lorsque deux angles AOB et A'O'B'
Vig. «4.
ont leurs côtés parallèles, il peut arriver trois cas.
r OA et O'A', OB et O'B' sont parallèles et de même sens (fig. 83).
Les angles sont égaux et coTnciclont par Iraiislatioii.
2* OA etO'X\ 08 ef O'B' sont parallèles et de sens con- Imires (fig. 84).
Les angles sont égaux. Par la translation qui amène
G en 0', AOB coïncide avec A"0'B", Topposé par le sommet de A' O'B'. Ou encore: les deux angles sont symétri-
Fig. 85.
ques par rapport au milieu I de 00' ; ils coïncident par une rotation de iSo® autour de I.
3».0Ae/ O'A' sont parallèles et de sens contraires^ OB et O'B' so7%t parallèles et de même sens (fig. 85,.
Les angles sont supplémentaires. Par la translation qui
amène O en O', AOB coïncide avec l'angle A"0'B' supplémentaire de A'O'B'.
ill. — Lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles, ils sont ou bien égaux ou bien supplémentaires, et cela dépend du sens des côtés. Mais quelquefois les figures ne sont pas tracées, et on raisonne ainsi :
i" cas. — On a affaire à deux angles aigits. — On sait quUls sont égaux ou supplémentaires; or ils ne sont pas supplémentaires^ donc ils sont égaux.
2' cas. — On a affaire à deux angles obtus. — Ils ne sont pas supplémentaires, donc ils sont égaux.
3* cas. — On a affaire à un angle obtus eit à un angle aigu. — Ils ne sont pas égaux, donc ils sont supplémentaires.
En résumé, lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles. Us sont égaux, s'ils sont de même espèce, — ils sont supplémentaires, s'ils sont d'espèces différentes.
