Corollaire. — Dans un triangle équilatéral les

180* trois angles sont égaux et chacun d'eux vaut ——-=60"; et

réciproquement, si dans un triangle les trois angles sont égaux, ce triangle est équilatéral.

139. — Lieux géométriques. — On dit qu'une figure est le lieu g^éométrlque des points jouissant d'une certaine propriété, lorsque tous les points de cette figure jouissent de cette propriété, et ceux-là seulement.

Lorsqu'on voudra donc démontrer qu'une figure estun lieu géométrique, il faudra prouver deux choses : l'Que tout point de la figure jouit de la propriété considérée; a" Que tout point qui jouit de la propriété est sur la figure, ou, ce qui revient au même, que tout point qui n'est pas sur' la figure ne jouit pas de la propriété.

140. — Théorème. — Le lieu géo- Lifii des points à métrique des points équidistants de deux

le distance de deux points donnés.

points donnés est la perpendiculaire au milieu de la droite qui les joint.

Soient A et B (fig. 100) deux points, et D la perpendiculaire au milieu de AB :

SYMÉTIUE PAU RAPPORT A UNK DROITE.

I"* Tout point M de D est à égale dislanco de A et li, car MA= MB, par symétrie par rapport à D;

2' Soit M un point équidistant de A et B. Le triangle MAB étant isocèle, la médiane MO est également hauteur; donc le point M est bien sur la droite D perpendiculaire en sur AB.

141. — Construction. — Élever la perpendiculaire en un point d'une droite.

Soit'O un point de la droite D (Vig. loi).

De comme centre avec un rayon arbitraire décrivons un cercle qui coupe D en A et

B. De A et B ;jvM

comme centres, /

avec un même '

rayon (plus grand /

que le précédent), /

décrivons deux \ ' \

cercles qui se /y* '^ Q < 'B

coupent en M et ^

La droite MM' \

passe par O, c'est "^ ^

lo, perperidicula ire 4 C 1^ '

cherchée.

En effet M et M'

SOntéauirlistants *''^' '°'~ ^Construction de la perpendiculaire en un " point d'une droite.

deAetB; ils sont

donc (n* 140) situés sur la perpendiculaire au milieii

de AB.

142. — Construction. — Abaisser d'un point extérieur nne perpendiculaire sur une droite.

tu point O comme centre avec un rayon arbitraire, mais

, suffisamment grand, traçons un cercle qui coupe la droite D en deux points A et B (fîg. loa).

De A et B comme centres, avec des rayons égaux, traçons deux arcs de cercle qui se coupent en M.

1vi

Fijr. I02- — Construction de la perpendiculaire abaii^sée d'un point sur une droite.

OM est la perpendiculaire cherchée.

Car O et M étant équidisftnts de A et B, la droite OM est perpendiculaire sur AB (en son milieu).