Définition. — On appelle distante d'an point à
DISTAÎiCES.
une droite la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite.
C'est le chemin rectiligne le plus court pour aller de ce point à la droite.
154. — Théorème. — Lorsque deux droites sont parallèles, tous les points de Vune sont à la même distance de Vautre.
Cette distance commune est ce qu^on appelle la dintanee des deux parallèles.
Soient D et D' (ï\g. io6) deux droites parallèles. De deux points A et C
de D' abaissons A ^ "
les perpendiculaires AB et CE sur D. Les, droites AB et CE sont parallèles (n" 117).
Les deux dis-
Kig. io6. ~ Distance de deux parallèles.
tances AB et CE sont donc égales, car on les amène en coïncidence, par une translation de glissières D' et D qui amène A en C.
155. — Corollaire. — Le lieu géométrique des points à une distance donnée d'une droite donnée D se compose de
Fig. 107. — Lieu des points à une distance donnée d'une droite.
deux droites D' et D" parallèles à la droite donnée D, de part et d'autre de cette droite D (fîg. 107).
Les droites D' et D" sont symétriques par rapport à la droite D.
DO KI.KMKXTS OE GKOMKTRIK.
156. — Théorème. — Dans un triangle un côté est plus petit que la somme des deux autres.
On peut considérer cette proposition comme évidente expérimentalement.
En voici d'ailleurs imo démonstration * :
Soll ABC (fif(. io8) lin triann^le. Prolong^oons le côté AB, au del?i de
A, d'une longueur Ah égale à AC. Joignons I)C. Le triangle AIK:
étant isocèle, les angles XX /^
ADC et ACD sont égaux.
Donc, dans le triangle
BDC, l'angle BCD est plus grand que l'angle
BDC, puisqu'il est égal à celui-ci augmenté de
l'angle ACB. U en résulte (n" 146) que
c'est-à-dire et, comme AD-^AC,
BC < BI), BC<BA + AI) BC<BA-f AC.
157. — Corollaire I. — Le segment de droite qui joint deux points est plus court que la longueur de toute ligne brisée joignant ces deux points.
Cette proposition est presque intuitive, car, en vertu du théorème précédent, chaque fois qu'on remplace T" le segment de droite ioignant deux pomts par deux
segments de droite, on allonge la ligne qui joint ces deux points.
1. On pourra réserver reUo démonslration ain^i (|ue colins ilps n" 457 à 461 |M>iir la rla^ise <le Troisième A.
Ainsi (fîg. 109), le segment de droite AB qui joint AàB est plus court que ACB. Si on remplace le segment CB par la ligne brisée CDB, on allonge le chemin total. Si on remplace encore DB par DEB, on allonge encore, et ainsi de suite. On a donc :
AB<ACB<ACDB<ACDEB. ,
158. — Corollaire. — Dans un triangle un côté quelconque est plus grand que la différence des deux autres.
Car, dans le triangle ABC (fîg. 108), on a :
ABfAOBC. (»)
Supposons BC plus grand que AB, on en conclut, en retranchant AB aux deux membres de l'inégalité (i),
AOBC — AB.
159. - Théorème. — Toute ligne brisée convexe joignant deux points est plus courte que toute autre ligne brisée joignant les deux mêmes points et qui Venveloppe.
Soit, en effet, ACDEFB une ligne brisée convexe (fig. 1 10) joignant les deux points A et B ; et soit AHIJKLMNB une ligne brisée quelconque qui l'enveloppe.
Prolongeons le côté AC jusqu'à sa rencontre P avec la ligne enveloppante. Si nous remplaçons la ligne AHP par la droite AP nous diminuons le contour enveloppant (n° 157).
Prolongeons ensuite CD jusqu'à sa rencontre Q avec le contour enveloppant. Si nous remplaçons encore le contour
Fig. 110.
92 ÉLÉMENTS DE (ÎÉOMÉTRIE. ' •
CPIJKLQ par la droite CQ, nous diminuerons encore le contour enveloppant. Et ainsi de suite. En continuant de la sorte nous parviendrons finalement, de diminution en diminution, au contour convexe ACDEFB qui est par suite manifestement plus petit que celui qui l'enveloppe.
