Remarque

— Il est bon de remarquer que cette démonstration ne réussit que parce que le contour ACDEFB est convexe.

Si, par exemple (fîg. m), on considère un contour ACDEFIKLMNOPQB qui n'es^ \m8 convexe, il est fort possible qu'il soit plus long que le contour enveloppant ARSB. Il suffira d'essayer de recommencer dans ce cas la démonstration précédente pour voir pourquoi elle n'est plus possible.

161. — Application. — Nous avons vu (n* 140) que la droite D perpendiculaire au milieu O du segment AB est le lieu géométrique des points équidistants de A etB. Il en résulte que tout point M non situé sur D est inégalement distant de A et B. Il est intéressant de savoir duquel des points A ou B il est le plus près.

Si le point M est du même côté de D que A, il est plus près de A que de B (fîg. i la).

Joignons, en effet, MB et MA. Ces points M et B étant de part et d'autre de D, le segment MB rencontre D en urt point P, entre M et B. Joignons encore PA. Dans le triangle MPA on a :

(i) MA<MP-fPA.

Or, P étant sur D, on a aussi :